Proszę o pomoc z dowodem Andre : Uzasadnij ze dla każdego a>b zachodzi nierówność: a³−b³>0

Adamm: a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²) wystarczy udowodnić że a²+ab+b²>0

Andre : Tak właśnie rozpisałem i jasne jest ze a−b >0 ale nie mogę sobie poradzić z drugim nawiasem

Adamm:

	b		b2
a2+ab=(a+		)2−
	2		4

Andre : Dzięki

relaa: Jeżeli a > b ⇒ a³ > b³ ⇒ a³ − b³ > 0.

Adamm: relaa, ja to wiem, ale skoro w zadaniu pisze uzasadnij, to nie można tak po prostu napisać że tak jest bo tak jest

relaa: A to nie jest uzasadnienie? Po przekształceniach równoważnych otrzymujemy to co mamy udowodnić.

Adamm: udowadniasz tym co masz udowodnić to się nazywa błąd logiczny

Saizou : relaa dobrze to rozwiązał−/−a Bo nasze założenie to a>b i wykonujemy ciąg przekształceń i dochodzimy do tezy: a³−b³ > 0 więc gdzie tu błąd ? (jest to dowód wprost)

relaa: Rozumiem, że w Twoim rozumieniu dowód jest niepoprawny?

Adamm: relaa, udowodnię że x−y+siny−sinx>0, jeśli x>y x>y ⇔ x−sinx>y−siny ⇔ x−y+siny−sinx>0 to jest poprawny dowód? pewnie tak, ale nie ma w nim żadnego wyjaśnienia co do przejścia, tak samo w twoim dowodzie

Saizou : Adamm nie porównuj tych dwóch dowodów bo one są z goła inne

Saizou : ale oba poprawne

Adamm: Saizou, nie rozumiesz

Saizou : wiem, brakuje Ci pewnego przejścia, którego ty wymagasz a ja nie

Saizou : PS. jednak ten drugi dowód nie jest poprawny, bo sinus nie jest ściśle monotoniczny

Adamm: akurat ten drugi jest poprawny, nie jest wyjaśnione przejście a ty nadal nie rozumiesz

Saizou : to mi wytłumacz

Adamm: to nie tak że ja wymagam tego przejścia, ja wiem że jest ono poprawne i je akceptuję ale nie zapominaj o tym co chcemy dowieść w praktyce to czego chcemy dowieść to że x>y⇒x³>y³ i dla mnie jest to użycie naszej tezy w dowodzie

Saizou : ja jakoś tego nie widzę, w którym miejscu w przejściu a>b → a³>b³→a−b³>0 Założenie to a>b teza a³−b³ > 0 wychodzimy z założenia i dochodzimy do tezy, więc co jest nie tak ?

Adamm: w 18:28 zrobiłem to samo wykorzystałem coś co już wiedziałem żeby wykonać to przejście tak samo ty nie widzisz nic złego w przejściu o którym już wiesz ale powinniśmy założyć że tego nie wiemy przy tym dowodzie

Saizou : Adamm przeprowadzając dowód w taki sposób jest strasznie długi (może nie w tym przypadku) ale jak byś zobaczył np. dowód tw. Picarda o istnienu rozwiązania równania różniczkowego to byś switerdził że lepiej pomijać oczywiste rzeczy

Adamm: Saizou, po to są Lematy

Saizou : Owszem, ale zobacz sobie na jakikolwiek dowód, oczywiste przejścia nie są udowadnianie.

Adamm: a to wyjaśnienie czemu x>y ⇔ x−sinx>y−siny wystarczy zbadać funkcję f(x)=x−sinx, i wykazać że jest ona rosnąca na to samo możemy powołać się przy zdaniu x>y ⇔ x³>y³, dlatego taki przykład

Saizou : Inaczej, jak ktoś by mi tak napisał (w sensie bez wyjaśnienia dlaczego tak jest) to był uznał, jeśli napisałby to co ty przed chwilą też bym to uznał

jc: Jak uzasadnić wynikanie a>b ⇒ a³ > b³ ? Tego jednak u relaa brakuje. Np. nie dla każdej pary liczb a,b zachodzi wynikanie: a>b ⇒ a² > b². 2 > −3, ale 2² = 4 < (−3)² = 9.

Saizou : ale tam mamy sześciany a nie kwadraty

jc: Saizou, wiem, że tam są kwadraty. Jak ogólnie wykazać, że dla nieparzystych n, jeśli a > b, to aⁿ > bⁿ? Chodzi o ładny dowód.

Adamm: f(x)=x^2k+1, k∊ℕ f'(x)=(2k+1)x^2k widzimy że 2k+1>0 oraz x^2k=(x^k)²≥0, przy czym x^k=0 zachodzi jedynie dla x=0 o ile k≠0 stąd funkcja jest rosnąca, zatem a>b ⇒ f(a)>f(b) a>b ⇒ a^2k+1>b^2k+1

jc: Zawsze można poprzestać na przypadkach: a > b ≥ 0 0≥ a > b a > 0 ≥ b Dowód w każdym przypadku jest oczywisty.

Saizou : Adamm jak już mielibyśmy wszystko udowadniać, to dlaczego nie pokazałeś, że funkcja f określona wzorem f(x)=x^2k+1, dla k ∊ N jest różniczkowalna ?

Adamm:

	(x+h)2k+1−x2k+1
limh→0		=
	h

	2k+1 n   ∑n=12k+1 x2k+1−nhn
= limh→0		=
	h

	2k+1 n
= limh→0 ∑n=12k+1		x2k+1−nhn−1 = (2k+1)x2k

proszę

Adamm: może jeszcze granicę z definicji ?

jc: Adamm, a potem jeszcze ciąg twierdzeń, z których ostatnie mówi, że funkcja o dodatniej pochodnej jest rosnąca. Można rozszerzyć Twoje pierwsze rozwiązanie. 0 ≤ a²+b² + (a+b)² = 2(a² + ab + b²) (zero tylko dla a=b=0) 0 ≤ 2a⁴+ 2b⁴+ (a²−b²)² + (a+b)⁴ = 4(a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴) A jak będzie dalej?