Całkowanie przez części joan.0: Oblicz przez podział na części: ∫arctg²(x)dx

Jerzy: A co to za metoda ?

joan.0: *przez części

Jerzy: 1 = v' u = arctg²x

	2arctgx
x = v u' =
	1 + x2

Mariusz:

	x
xarctan2(x)−∫		arctan(x)dx
	1+x2

	1		1		lnI1+x2I
=xarctan2(x)−(		ln|1+x2|arctan(x)−		∫		dx)
	2		2		1+x2

	1		1		2lnI1+x2I
=xarctan2(x)−		ln|1+x2|arctan(x)+		∫		dx
	2		4		1+x2

Teraz będzie trzeba pobawić się zespolonymi ln|1+x²|=ln|1+ix|+ln|1−ix|

2		A		B
	=		+
1+x2		1−ix		1+ix

A(1+ix)+B(1−ix)=2 A+B=2 iA−iB=0 A+B=2 A−B=0 A=1 B=1

	1
=xarctan2(x)−		ln|1+x2|arctan(x)+
	2

1		ln|1−ix|		ln|1+ix|		ln|1−ix|		ln|1+ix|
	∫(		+		+		+		)dx
4		1−ix		1−ix		1+ix		1+ix

Teraz spróbuj podstawieniami dojść do takiej całki nieelementarnej

	ln(x)
∫		dx
	1−x

Mariusz: Zdaje się że dwójkę zgubiłem ale tak trzeba będzie liczyć jak pokazałem

jc: Myślę, że tej całki nie wyrazimy przez funkcje elementarne.

Jerzy:

	xarctg(x)
A nie mozna prościej... ∫		dx
	1+x2

	1
podstawienie: arctg(x) = t ,		dx = dt , x = tgt
	1+x2

.........= ∫t*tgtdt

Jerzy: i teraz przez części: v' = tgt u = t v = − lnIcostI u ' = 1 ... = −lnIcostI*t − ∫ln(t)dt

Jerzy: = −lnIcostI + ∫ln(cost)dt