Układy równań różniczkowych Benny: Czy ktoś mógłby podrzucić jakiś skrypt lub pokazać jak rozwiązuje się układy równań różniczkowych liniowych?

bezendu: https://pl.wikibooks.org/wiki/Analiza_matematyczna/Uk%C5%82ady_r%C3%B3wna%C5%84_r%C3%B3%C5%BCniczkowych/Przyk%C5%82ad_1.1

Benny: Widziałem to, opisany jest jakiś szczególny przypadek. Co jeśli mamy wartości własne wielokrotne lub zespolone?

Metis: Jest taki skrypt z AGHu Mam go w domu.

Benny: Znaczy ja mam też skrypt tylko nie jestem pewny czy wszystkie przypadki są brane pod uwagę. Chciałem się upewnić czy dobrze liczę

jc: Czy masz jakiś konkretny przykład układu równań?

Benny: Znaczy się chodzi mi o metodę rozwiązywania. Mam pewne twierdzenie w skrypcie i nie wiem jak powinienem rozwiązywać. Weźmy np. układ x'=x−y+z, y'=x+y−z, z'=2x−y Tworzę macierz 3x3, szukam wartości własnych, następnie wektory własne i tworzę układ fundamentalny. Mam też podane twierdzenie. Niech λ₁, λ₂, ..., λ_n będą wartościami własnymi. Wówczas macierz fundamentalna ma postać X(t)=ⁿ⁻¹∑_j=0u_j+1(t)P_j, gdzie P_j= ^j∏_k=1(A−λ_kI) dla j=1,2,...,n−1, P₀=I Nie wiem czy te sposoby się jakoś różnią. Wydaje mi się że to twierdzenie jest przydatne dla większych układów równań.

jc: Tu akurat masz 3 różne wartości własne: −1,1, 2. Jeśli wartości własne k₁,k₂, k₃ są różne, to exp(tM) = a(t) I + b(t) M + c(t) M². Funkcje a,b,c są kombinacjami liniowymi e^k₁t, e^k₂t, e^k₃t.

	k2k3 ek1t
a=
	(k1−k2)(k1−k3)

	k1k3 ek2t
+
	(k2−k1)(k2−k3)

	k1k2 ek3t
+
	(k3−k1)(k3−k2)

Podobnie wyglądają b i c. Podstawiasz i masz wynik.

jc: W b masz k₂+k₃ zamiast k₂k₃ itd, a w c po prostu jedynki (spojrzałem na jakieś stare notatki).

Benny: Chyba jednak zostanę przy swoim. Możesz stwierdzić czy tak jak robię jest ok i odnieść się do tego twierdzenia?

jc: X(t) = exp(tA)? P_j to rzuty. A czym są u_j+1(t)?

Benny: u₁'(t)=λ₁u₁(t), u₁(0)=1 u_j'(t)=λ_ju_j(t)+u_j−1(t), u_j(0)=0, j=2,...,n

Mariusz: http://winntbg.bg.agh.edu.pl/skrypty2/0065/niedoba.pdf W skryptach masz takie możliwości 1. Metoda całek pierwszych (zapisujesz układ w postaci symetrycznej i znajdujesz niezależne całki pierwsze tego układu) 2. Metoda eliminacji (Sprowadzasz układ równań do równania liniowego wyższego rzędu) 3. Metoda Eulera (Obliczasz exponentę macierzy z wykorzystaniem wartości własnych i uogólnionych wektorów własnych) 4. Metoda operatorowa (Korzystasz z przekształcenia Laplace)

jc: Dla Twojej macierzy mamy: exp(tM) = [1/3 e^−t + e^t − 1/3 e^2t] + [1/2 e^−t −1/2 e^t ] M + [1/6 e^−t − 1/2 e^t + 1/3 e^2t] M² Nie jest tak strasznie ...

jc: Ja akurat potrzebowałem konkretnego wzoru. Jak widzisz w przypadku Twojej macierzy wystarczyło podstawić za k_i wartości −1,1,2. Moje wzory nie obejmują wielokrotnych wartości własnych (choć odpowiednie wzory nie trudno uzyskać).

bezendu: jc kojarzysz może metodę simplex ?

Mariusz: Dla stałych współczynników rozwiązanie układu jest postaci x=e^Atx₀ więc mając uogólnione wektory własne nie trzeba liczyć sumy wszystkich wyrazów szeregu aby dostać rozwiązanie Eksponentę macierzy można policzyć korzystając z macierzy fundamentalnej układu

Mariusz: Benny x'=x−y+z, y'=x+y−z, z'=2x−y Zapisujesz układ w postaci

dx		dy		dz		dt
	=		=		=
x−y+z		x+y−z		2x−y		1

i teraz znajdź trzy niezależne całki pierwsze tego układu

jc: Metoda sympleks. Każdy informatyk i ekonomista ćwiczy na studiach (programowanie liniowe) Na pewno w wielu miejscach dobrze opisane. Kiedyś nawet zamierzałem się tego nauczyć.

bezendu: No własnie dwufazowy simplex sprawia mi problem

jc: Mariusz, a teraz nas naucz, jak się takie równanie rozwiązuje

Benny: Też chciałbym to wiedzieć

Mariusz: No właśnie to jest najtrudniejsze ale metoda wygląda na najbardziej ogólną z tych czterech które podałem Jeżeli uda nam się znaleźć takie funkcje aby f₁(x)(x−y+z)+f₂(y)(x+y−z)+f₃(z)(2x−y)=0 to możemy znaleźć całkę pierwszą i wyrugować jedną ze zmiennych W równaniach jest co najmniej jedna zmienna która przeszkadza w tym aby rozwiązać te równania osobno

Mariusz: Benny miałeś równania wyższych rzędów ? Jeśli tak to może jednak zacznij od metody eliminacji Działa podobnie jak metoda podstawiania w układach równań liniowych z algebry Metoda całek pierwszych pozwoli ci więcej układów rozwiązać co więcej będzie przydatna przy rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu ale trudniej znaleźć te niezależne całki pierwsze

Benny: Miałem metodę eliminacji, wiem jak działa. Nadal nie wiem czy metodą o którą pytałem na początku działa w każdym przypadku.

Mariusz: Metoda z wartościami i wektorami własnymi działa dla układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach Dla układów niejednorodnych też jest uzmiennianie stałych

Mariusz: Benny pamiętasz jak pytałem cię o diagonalizację i rozkład Jordana macierzy Teraz jest ten moment gdzie i tobie może się to przydać Ja w skryptach mam inne podejście − bez rozkładu macierzy

Benny: Jednak czy zmienia się coś gdy mamy wartości wielokrotne?

Benny: Mam to pewnie gdzieś w notatkach z algebry. Nie mam jednak teraz do tego dostępu.

jc: Może się coś zmienić. A= [1 0] [0 1] exp(ta)= [e^t 0] [0 e^t] Nic nowego. A= [1 1] [0 1] exp(ta)= [1 t] [e^t 0] [0 1] [0 e^t] = [e^t te^t] [0 e^t ] Pojawił się wyraz t e^t.

Mariusz: Wtedy zamiast diagonalizacji używasz rozkładu Jordana macierzy Ja w skryptach mam takie podejście x=e^Atx₀ Niech (A−λI)^kx₀=0 gdzie k to krotność wartości własnej e^At=e^{λIt+(A−λI)t}=e^λte^(A−λI)t Ponieważ liczymy x=e^Atx₀ oraz (A−λI)^kx₀=0 to gdy będziemy liczyli e^(A−λI)t z sumy szeregu to po k. wyrazie składniki nam się wyzerują

	t2		t3
e(A−λI)tx0=(I+(A−λI)t+(A−λI)2		+(A−λI)3		+...+
	2		6

	tk−1
(A−λI)k−1		)x0
	(k−1)!

Eksponentę macierzy możesz policzyć korzystając z macierzy fundamentalnej układu e^At=Φ(t)Φ⁻¹(0)

Benny: jc mógłbyś to jakoś wytłumaczyć?

Mariusz: To jest pewnie związane z rozkładem Jordana No ciekawe jak ci wytłumaczy skoro mi nie chciał pokazać rozkładu Jordana Jak masz go w notatkach z algebry to je wygrzeb a na pewno coś znajdziesz

Benny: Udało mi się to rozwiązać sposobem ze skryptu który podrzuciłeś.

jc: Benny, czy Twój wynik różni się od mojego z godziny 23:53?

jc: 23:52

Benny: Nie, wyszło to samo.

Benny: Och, miałem na myśli przykład z 01:14

jc: A jak z pierwszym przykładem? Inny sposób. Różniczkujesz dwa razy i eliminujesz y, z. Ale to pewnie znasz.

Benny: Chyba tego nie znam. Wiem, że można sobie wyrugować jedną zmienną, zróżniczkować i podstawiać.

Benny: Tym sposobem drugim, który podałem też działa.

Mariusz: Benny twierdziłeś że to znasz Przykład x'=x−y+z, y'=x+y−z, z'=2x−y z=x'−x+y y'=x+y−(x'−x+y) x''−x'+y'=2x−y z=x'−x+y y'=2x−x' −x''+x'+2x−y'=y −x'''+x''+2x−y''=y' −x'''+x''+2x−(2x'−x'')=2x−x' −x'''+x''+2x'−2x'+x''−2x+x'=0 x'''−2x''−x'+2x=0 z=x'−x+y y=−x''+2x' x'''−2x''−x'+2x=0

Benny: Tak, ale rozwiązywałem tak tylko przypadki dla dwóch równań.

Benny: Tak samo pójdzie takie równanie? x'=−2x+y+z+1 y'=2y z'=3z+t x(0)=1, y(0)=1, z(0)=1

Benny: Z drugiego wyznaczam y, z trzeciego wyznaczam z i podstawiam do pierwszego, aby wyliczyć x i to już koniec?

Mariusz: Benny rozpatrz najpierw jednorodne x'=−2x+y+z y'=2y z'=3z z=x'+2x−y y'=2y x''+2x'−y'=3(x'+2x−y) z=x'+2x−y y'=2y x''+2x'−y'=3x'+6x−3y z=x'+2x−y y'=2y x''+2x'−2y−3x'−6x+3y=0 −x''+x'+6x=y z=x'+2x−y y=−x''+x'+6x −x'''+x''+6x'=2(−x''+x'+6x) z=x'+2x−y y=−x''+x'+6x −x'''+x''+6x'=−2x''+2x'+12x x'''−3x''−4x'+12x=0 z=x'+2x−y y=−x''+x'+6x λ³−3λ²−4λ+12=0 λ²(λ−3)−4(λ−3)=0 (λ²−4)(λ−3)=0 (λ+2)(λ−2)(λ−3)=0 x=C₁e^−2t+C₂e^2t+C₃e^3t x'=−2C₁e^−2t+2C₂e^2t+3C₃e^3t x''=4C₁e^−2t+4C₂e^2t+9C₃e^3t y=−4C₁e^−2t−4C₂e^2t−9C₃e^3t−2C₁e^−2t+2C₂e^2t+3C₃e^3t +6C₁e^−2t+6C₂e^2t+6C₃e^3t y=4C₂e^2t z=x'+2x−y z=−2C₁e^−2t+2C₂e^2t+3C₃e^3t+2C₁e^−2t+2C₂e^2t+2C₃e^3t −4C₂e^2t z=5C₃e^3t x=C₁e^−2t+C₂e^2t+C₃e^3t y=4C₂e^2t z=5C₃e^3t Teraz rozwiązujesz układ równań e^−2tC₁'(t)+e^2tC₂'(t)+e^3tC₃'(t)=1 4e^2tC₂'(t) =0 5e^3tC₃'(t)=t y_s=C₁(t)e^−2t+C₂(t)e^2t+C₃(t)e^3t

Benny: Całka szczególna? Czemu nie ogólna?

Mariusz: Całkę ogólną będziesz miał jeśli dodasz całkę szczególną równania niejednorodnego do całki ogólnej równania jednorodnego