różniczkowe Benny: x''+x=2sint−2e^−t Rozwiązanie równania jednorodnego to x=Acost+Bsint. Nie mam pomysłu jakim sposobem mam znaleźć całkę ogólną.

jc: Podstaw K e^−t + L t sin t + M t cos t i dobierz K, L, M. Tak uzyskasz rozwiązanie szczególne. Możesz też zastosować ogólną metodę (uzmiennianie stałych).

Benny: Czemu akurat takie podstawienie?

jc: Bo sin t jest rozwiązaniem równania jednorodnego. Podstaw najpierw e^−t i zobaczysz, o co chodzi.

Benny: No widzę, że 2e^−t=sint, więc trochę słabo

jc: (e^−t)'' + e^−t = 2 e^−t (t cos t)'' + t cos t = (cos t − t sin t)' + t cos t = − 2 sin t Jednym z rozwiązań jest więc y = − t cos t − e^−t. Ogólne rozwiązanie uzyskujemy dodając ogólne rozwiązanie równania jednorodnego. y = A cos t + B sin t − t cos t − e^−t

Benny: Ok, ale czy jest jakaś ogólna metoda rozwiązywania czy akurat jak uda się odgadnąć?

jc: Są ogólne metody: uzmiennianie stałych oraz metoda operatorowa. Możesz jeszcze inaczej. Rozwiązać zadanie dla sin kt, k≠1, a potem znaleźć granicę k=1.

Mariusz: Lepiej uzmiennić stałe Rozwiązujesz wtedy układ równań x₁(t)C₁'(t)+x₂(t)C₂'(t)=0 x₁'(t)C₁'(t)+x₂'(t)C₂'(t)=f(t) Całka szczególna będzie postaci x_s=C₁(t)x₁(t)+C₂(t)x₂(t) x₁(t) oraz x₂(t) to liniowo niezależne całki równania jednorodnego Całka ogólna równania niejednorodnego to suma całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego

Mariusz: Czy ja wiem czy operatorowa jest ogólna Wg mnie jest tylko nieco wygodniejsza niż przewidywanie ale ma podobne zastosowanie

jc: Mariusz, myślę, że uzmiennianie stałych jest ogólniejsze (współczynniki równania nie muszą być stałymi, nie wiem, jak sobie z tym radzi metoda operatorowa).

Mariusz: Dlatego napisałem że metoda operatorowa ma podobne zastosowanie co metoda przewidywania tylko jest wygodniejsza w użyciu ∫₀^∞f'(t)e^−stdt=f(t)e^−st|₀^∞+s∫₀^∞f(t)e^−stdt Aby metoda operatorowa miała sens to

	f(t)
limt→∞		= 0
	est

jc: No tak, z takim rówaniem byłby problem: x'' + x = (4t²+3)e^t2