całka janusz: witam czy ktoś ma może pomysł jak rozwiązać taką całkę: x³ − 1 ∫ −−−−− dx 4x³ − x

Adamm: najpierw rozbij to tak żeby w liczniku był wielomian mniejszego stopnia, dalej rozbijasz to w ten sposób

W(x)		A		B		C
	=		+		+
x(x−1/2)(x+1/2)		x		x−1/2		x+1/2

Mila:

	1
(x3−1) : (4x3−x)=
	4

	1
−(x3−		x)
	4

===========

	1
		x−1 ←Reszta
	4

	(x3−1)		1		0.25x−1
∫		dx=∫		dx+∫		dx=
	(4x3−x)		4		x*(2x−1)*(2x+1)

	x		0.25x−1
=		+∫		dx=
	4		x*(2x−1)*(2x+1)

Teraz ułamki proste.

0.25x−1		A		B		C
	=		+		+
x*(2x−1)*(2x+1)		x		2x−1		2x+1

Spróbuj dalej sam

janusz: nie rozumiem jaki zwiazek ma wynik dzielenia z tym przejsciem z jednej calki w dwie

Mila: Taki, że upraszcza rachunki.

janusz: nie ogarniam konkretnie tego:

	1		0.25x−1
∫		dx + ∫		dx
	4		x*(2x−1)*(2x+1)

skąd to sie wzielo?

Mila:

x3−1		1		0.25x−1
	=		+
4x3−x		4		4x3−x

L=P Całkujesz prawą stronę.

Mila: To zwykłe przekształcenie wyrażenia podcałkowego, często to upraszcza rachunki.

Mila: Np:

	3x2+5x
∫		dx=∫(3x+5)dx i masz prościutką całkę.
	x

Mintaj: Mila czy to ten słynny futbolista Sebek Mila?

janusz: dlaczego ta reszte zapisujesz nad wielomianem przez ktory dzielisz

Mila: cd. 0.25x−1=A*(4x²−1)+B*x*(2x+1)+C*x*(2x−1) 0.25x−1=A*4x²−A+2x²*B+Bx+2x²*C−Cx=x²*(4A+2B+2C)+x*(B−C)−A Porównanie wsp. 4A+2B+2C=0

	1
B−C=
	4

−A=−1⇔A=1

	1
B−C=		i 2B+2C=−4⇔
	4

	1
B−C=
	4

B+C=−2

	7
2B=−
	4

	−7
B=
	8

	9
C=−
	8

	x3−1		x		1		7		9
∫		dx=		+∫		dx−∫		dx−∫		dx=
	4x3−x		4		x		8(2x−1)		8*(2x+1)

	x		7		2		9		2
=		+ln|x|−		∫		dx−		∫		dx=
	4		2*8		2x−1		2*8		2x+1

	x		7		9
=		+ln|x|−		ln|2x−1|−		ln|2x+1|+C
	4		16		16

janusz: wiem jak dalej to wyliczyc chodzi mi tylko o zamiane ilorazu tych wielomianów dlaczego ta reszte zapisuje sie nad wielomianem przez ktory dziele

Mila: 30:13=2 +reszta 4 co zapisujemy

	4		4
=2		=2+
	13		13

janusz: ok dzieki rozumiem

Karp: Mila, ludzie tacy jak ty są dla mnie inspiracją. Oby więcej takich polonistów!

janusz: mam jeszcze jedno pytanie, czy jak przejde do rozwiazywania rownania z A B i C to czy zamiast wyliczac wszystkiego nie lepiej podstawic cos za x zeby np A i B sie wyzerowalo i zostalo samo C?

Mila: To tak samo jak ze zwykłym dzieleniem

	7
12:7=1 reszta 5 czyli 12:7=1+
	5

(x²+3x−2 ):(x−1)=x+4 −(x²−x) ====== 4x−2 −( 4x−4) ==== 2← reszta ⇔(x²+3x−2 )=(x+4)*(x−1)+2 mozemy obie strony podzielic przez (x−1) Mamy:

x2+3x−2		2
	=x+4+
x−1		x−1

Mila: Ad.23:55 Tak , ja na ogół podstawiam za x liczby aby wyzerować odpowiednie składniki. Jednak myślałam, że nie znasz tego sposobu i tradycyjnie liczyłam. Rozwiąż bez dzielenia , to prosta całka. Jednak postaraj się to dzielenie z resztą zrozumieć.

janusz: udalo mi sie wczesniej rozwiazac ta calke sposobem adamma nie wiedzialem ze mozna to tak podzielic

Mila: Masz pytanie, to szybko, wybieram się do spania

Mila: Właśnie Adam to Ci sugerował, co ja zrobiłam. To w porządku. Dobranoc

janusz: Wszystko jasne dziekuje