zbadaj różniczkowalność funkcji

zbadaj różniczkowalność funkcji Ignacy: Hej, proszę o wskazówki dot. rozwiązania tego zadania: f(x)= xsin(1/x) dla x≠0, 0 dla x=0. Chciałem rozwiązać to zadanie licząc pochodną z definicji w punkcie x=0. Czy dobrze myślę?

13 gru 21:57

Adamm: najpierw ciągłość, lim_x→0 xsin(1/x) = 0 (można sprawdzić tw. o 3 funkcjach) pochodną liczysz z definicji, tak

13 gru 22:01

Adamm: nie zapomnij powołać się na różniczkowalność funkcji elementarnej

13 gru 22:03

Ignacy: na ciągłość powołuję się zaraz na początku rozwiązywania?

13 gru 22:06

Adamm: cofnij, nie wszystkie funkcje elementarne są różniczkowalne ale nie zapomnij wspomnieć że xsin(1/x) jest różniczkowalny dla x≠0

13 gru 22:06

Ignacy: i kolejny problem, czy mogę powołać się na tw. 0*ogr=0 przy liczeniu granicy?

13 gru 22:07

Adamm: tak, przy braku ciągłości nie ma mowy o różniczkowalności teraz jak już o tym mówimy to trzeba też wspomnieć o ciągłości funkcji elementarnych

13 gru 22:07

Adamm: nie rozumiem co znaczy 0*ogr

13 gru 22:08

Ignacy: czyli schemat wgląda tak: −ciągłość dla x=0 −powołanie się na ciągłość w pozostałych punktach, ze względu na to że przepis dla x≠0 to złożenie f elementarnych −policzenie pochodnej z definicji dla x→0

13 gru 22:10

Ignacy: Twierdzenie, że granica iloczynu ciągu zmierzającego do zera i ciągu ograniczonego jest równa 0

13 gru 22:11

Adamm: dla x=0, zamiast x→0, tak jeszcze policzenie pochodnej dla x≠0, tego już nie musisz robić z definicji, ale musisz sprawdzić dziedzinę pochodnej

13 gru 22:12

Adamm: nie wiedziałem że jest takie twierdzenie, ale na pewno jest prawdziwe skoro takie jest to tak

13 gru 22:13

Ignacy: ok, dziękuję za pomoc emotka

13 gru 22:17

Ignacy: mam jeszcze problem z pochodną, skoro h→0 to jak obliczyć granicę sin(1/h) ?

13 gru 22:25

Adamm: a jaką dokładnie masz tam granicę?

13 gru 22:26

Adamm: sama granica sin(1/h) nie istnieje

13 gru 22:26

Ignacy: lim sin(1/h) h→0

13 gru 22:27

Adamm: no to nie istnieje

13 gru 22:27

Ignacy: licząc pochodną z def mam: lim (xsin(1/x)−0)/(x−0) x→0

13 gru 22:29

Adamm: znaczy funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie x=0

13 gru 22:29

Ignacy: czyli ta f nie jest różniczkowalna? Mógłbyś też to przeliczyć, bo nie podoba mi się ten wynik, a niestety nie mam odpowiedzi do tych zadać

13 gru 22:29

Adamm:

	xsin(1/x)−0
lim_x→0		= lim_x→0 sin(1/x) nie istnieje bo na przykład z prawej strony
	x−0

1/x→∞ a sin(x) nie dąży do niczego przy x→∞

13 gru 22:33

Ignacy: ok, super, kolejne przykłady już bez wątpliwości są rozniczkowalne, więc ten był pewnie na wstępie, żeby zmylić. Dziękuję jeszcze raz

13 gru 22:35