eksterma funkcji Róza: f(x,y)x² + 2y² − xy − 2x + y − 5 eksterma funkcji

AS: Ekstrema funkcji wielu zmienmych Dana jest funkcja z = f(x,y) Warunek konieczny ekstremum w punkcie P(xo,yo) f ’x (xo,yo) = 0 i f ’y (xo,yo) = 0 Warunek wystarczający 1. f’x(xo,yo) = 0 i f’y(xo,yo) = 0 2. W(xo,yo) = f ’xx(xo,yo)*f ’yy(xo,yo) – [f ’xy(xo,yo)]² > 0 przy czym gdy f ’xx(xo,yo) < 0 w punkcie (xo,yo) maksimum lokalne gdy f ’xx(xo,yo) > 0 w punkcie (xo,yo) minimum lokalne Jeśli W(xo,yo) = 0 przypadek wątpliwy,badać osobno Jeśli W(xo,yo) < 0 w punkcie (xo,yo) brak ekstremum f'x = 2*x − y − 2 = 0 f'y = 4*y − x + 1 = 0 Rozwiązaniem układu : x = 1 , y = 0, Jest to warunek konieczny f'xx = 2 f'yy = 4 f'xy = −1 W(1,0) = 2*4 − (−1)² = 7 > 0 ekstremum występuje bo W(1,0) > 0 Ponieważ f'xx = 2 > 0 występuje minimum w (1,0) Wartość ekstremalna f(1,0) = 1² + 2*0² − 1*0 − 2*1 + 0 − 5 = −6 Punkt ekstremalny: M(1,0,−6)