Udowodnij, że Kinga: Udowodnij, że równanie |x − a| + |x − b| = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy odległość na osi liczbowej między liczbami a oraz b jest równa 1. Bardzo proszę o wyjaśnienie jak to udowodnić. Mam pewien pomysł jak to zrobić. Chodzi mi żeby wykorzystać to, że odległość między a oraz b wynosi 1, czyli |a − b| = 1. Najpierw jeszcze pozbyłam się symbolu wartości bezwzględnej z wyrażenia |x − a| + |x − b|. Tylko nie wiem co dalej.

Mila: f(x)=|x−b|+|x−b| |x−b|+|x−b|=|x−a|+|b−x|≥|x−a+b−x|=|b−a|=|a−b|− najmniejsza wartość f(x)⇔ |a−b|=1

Kinga: Dalej nie rozumiem

Adamm: funkcja może przyjąć postać f(x)=2x−a−b f(x)=−2x+a+b f(x)=a−b f(x)=b−a w zależności od znaku x−a oraz x−b tylko dla f(x)=a−b lub f(x)=b−a może mieć nieskończenie wiele rozwiązań, zakładając że nie są to wartości jedynie w punktach, czyli (x−a)(x−b)<0 spełnia co najmniej jedna liczba czyli musi być a−b=1 lub b−a=1 ⇔ |a−b|=1, wtedy oczywiście też istnieją x takie że (x−a)(x−b)<0

Kinga: A musi to być zrobione z funkcji. Ponieważ w szkole, nie robiliśmy nic z funkcjami w tym temacie?

Mila: To napisz L=.. to wynika z własności wartości bezwzględnej.

Kinga: A można to w ten sposób rozpisać: Niech a>b (dla b>a jest dokładnie to samo). Mamy trzy możliwości w równaniu: 1 przypadek: x>a (wówczas x−a jest dodatni oraz x−b jest dodatni) x−a+x−b = 1 2x = 1+a+b x = (1+a+b)/2 <− skąd otrzymamy tylko jedno rozwiązanie 2 przypadek: b<x<=a (wówczas x−a jest ujemna zaś x−b dodatnie) 3<x<4 |x−3|+|x−4| −x+a +x−b = 1 a−b = 1 ponieważ |a−b| = 1, a ponieważ a>b to a−b = 1 czyli otrzymujemy 1=1 −> tożsamość 3 przypadek: x<=b (wówczas oba są ujemne) −x+a−x+b=1 −2x=1−a−b x = (a+b−1)/2 mamy jedno rozwiązanie. jednym z rozwiązań jest przedział, a przedział jak wiadomo ma nieskończenie wiele liczb, więc to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań