granice Cisowianka: Oblicz granicę : lim_x−>0⁺ (²_π arccosx)^1_x

yht: f(x) = (2π arccos x)1x f(x) = eln f(x) f(x) = eln(2πarccos x)1x = e1x*ln(2πarccos x) limx→0+ f(x) = limx→0+ e1x*ln(2πarrcos x) = elimx→0+1x*ln(2πarrcos x) = ek, gdzie k = limx→0+1x*ln(2πarrcos x)

	2   ln( arccos x)   π
k = limx→0+1x*ln(2πarrcos x) = limx→0+		= ...
	x

podstawiając x=0 dostajemy

2   ln( arccos 0)   π
0

	π
arccos 0 =
	2

więc

2   ln( arccos 0)   π		2   π   ln( * )   π   2		ln 1		0
	=		=		=		symbol
0		0		0		0

nieoznaczony stosujemy regułę hospitala liczymy oddzielnie pochodną licznika i pochodną mianownika pochodna mianownika to x' = 1 więc zajmujemy się tylko licznikiem

	2   ln( arccos x)   π		1		2/π*(−1)
limx→0+		= limx→0+		*		=
	x		2/π * arccosx		1−x2

1

2/π*(−1)

1

−2/π

1

−2

=

*

=

*

=

*

=

2/π * arccos0

1−02

2/π * π/2

1

1

π

	−2
	π

PS. tam gdzie jest 1−x² oraz później po podstawieniu x=0 jest 1−0² to wszystko powinno być w pierwiastku tzn. √1−x² ale zapis ułamka z pierwiastkiem mi sie nie udawał

	−2
w każdym razie k =
	π

stąd lim f(x) = e^k = e^−2/π

Ala09: dziękuję ślicznie a czy bez użycia reguły hospitala wyjdzie jakoś znośnie czy nie bardzo? bo jeszcze nie możemy użyć oficjalnie tej reguły ;c

yht: jeśli przed regułą pojawił się ten przykład to pewnie jest jakiś sposób bez reguły, ale ja go nie widzę − może ktoś coś sprytnie zauważy ?