Całka podwójna bezendu: ∫∫√x²+y²dxdy D=2y≤x²+y²≤2x Dawno nie robiłem całek a potrzebuje pomóc koledze,może ktoś napisać jaki będzie obszar całkowania ? ≤φ≤ ≤r≤

Adamm: https://matematykaszkolna.pl/forum/339165.html

bezendu: 0≤φ≤π/2

Benny:

	π		π
Bardziej obstawiam −		≤φ≤
	2		4

bezendu: Benny sprawdzisz jak wrzucę rozwiązanie ?

Benny: Wrzucaj

bezendu: √2 pi/4 ∫∫(√x²+y²dxdy =∫{ ∫ √(rcosφ)²+(rsinφ)²rdφ}dr 0 −pi/2 ∫r²dφ =rφ+C

	3
[rφ]=[rpi/4]−[−rpi/2]=		pir
	4

3		3
	∫rdr=		r2+C
4		8

[r²]=[2²]−[0²}=4

bezendu: mała pomyłka wynik wyszedł 2

Benny: Zaraz zaraz. W ogólnie nie wiem co tu się stało 2sinφ≤r≤2cosφ

−π		π
	≤φ≤
2		4

∫∫r²drdφ w granicach jak wyżej.

bezendu: to liczę jeszcze raz

bezendu: liczę teraz tą całkę środkową ∫r²dφ=r²∫dφ (całka po dφ) r²∫dφ=r²φ+C ok ?

bezendu: granice całkowania wstawiam

	π		π		3
[r2φ]=[		r2]−[−		r2]=		πr2
	4		2		4

bezendu: wyliczam całkę

	3π		3π		1
∫		r2dr=		∫r2dr=		πr3+C
	4		4		4

Benny: No i właśnie powinieneś zauważyć błąd, że Twój wynik nie jest liczbą. Nie możesz sobie tak tego policzyć. Najpierw musisz policzyć całkę po dr

bezendu: Benny masz może gadu ?

Adamm:

	1		1
∫−π/2π/4∫2sinθ2cosθ r2drdθ = ∫−π/2π/4		(2cosθ)3−		(2sinθ)3 dθ
	3		3

	8
∫−π/2π/4		(1−sin2θ)cosθ dθ, podstawienie t=sinθ
	3

	8		8		8		1
∫−1√2/2		−		t2 dt =		[ t −		t3 ]−1√2/2 =
	3		3		3		3

	8		1		10
=		( √2/2−		*√2/2 − ( −1+1/3) ) =		√2+2/3
	3		6		9

	8
∫−π/2π/4 −		(1−cos2θ)sinθ dθ, podstawienie t=cosθ
	3

	8		8		8		1
∫0√2/2		−		t2 dt =		[ t −		t3 ]0√2/2 =
	3		3		3		3

	8		1		10
=		( √2/2−		*√2/2 ) =		√2
	3		6		9

	20
∫∫D √x2+y2 dA =		√2+2/3
	9

bezendu: Adam dzięki wielkie !

Benny: Mam 12460944

Adamm:

	8		16
tam podstawiając pod −1 nie pomnożyłem razy		, powinno być		zamiast 2/3
	3		9

jc: Adamm, promień r nie powinien być ujemny, sin θ < 0 dla θ ∊[−π/2, 0).

Adamm:

	20		16
∫0π/4∫2sinθ2cosθ r2drdθ =		√2−
	9		9

	16
∫−π/20∫02cosθ r2drdθ =
	9

	20
∫∫D √x2+y2 dA =		√2
	9