równanie - wartości bezwzględne Kornela: Rozwiąż równanie: |x+|x+|x+|x||||=0 Nie mam pojęcia jak się do tego zabrać, baardzo proszę o wytłumaczenie mi tego krok po kroku Z góry wielkie dzięki!

Wałowa: Tu rozwiazanie nasuwa sie samo Opuszczaj po kolei moduly zaczynajc od nabardziej zewnetrznej

Kama: więc najzwyczajniej 4x będzie się równało 0 ? W jaki sposób można więc zapisać tok rozumowania?

'Leszek: Ciekawsze zadanie bedzie gdy po prawej stronie rownania bedzie np. 1

Kornela: haha ale jest 0 i nadal nie wiem co zrobić z tym faktem tzn domyślam się że wyjdzie 4x=0, ale jak zapisać rozwiązanie tego równania?

relaa: Przecież rozwiązaniem tego równania jest x ∊ (−∞ ; 0].

'Leszek: Metode napisala Ci p.Walowa

janek: @relaa Być może się mylę, ale czy to nie będzie x∊<0;∞) ?

relaa: Może się mylisz. Sprawdź przykładowo dla x = 1 oraz x = −1.

yht: to się rozwiązuje od zewnątrz | x+|x+|x+|x||| | = 0 podstawiamy x+|x+|x+|x||| = t | t | = 0 t = 0 wracamy do poprzedniej zmiennej x+|x+|x+|x||| = 0 | x+|x+|x|| | = −x Uwaga! Lewa strona równania | x+|x+|x|| | = −x jest nieujemna, to żeby były rozwiązania to prawa strona też musi być nieujemna. Stąd wynika, że trzeba w tym momencie zrobić zastrzeżenie −x ≥ 0 |(−1) x ≤ 0 Założenie x≤0 bierzemy pod uwagę aż do samego końca rozwiązania zadania. | x+|x+|x|| | = −x podstawiamy x+|x+|x|| = k | k | = −x k = −x lub k = x wracamy do poprzedniej zmiennej x+|x+|x|| = −x lub x+|x+|x|| = x |x+|x|| = −x−x lub |x+|x|| = x−x | x+|x| | = −2x lub | x+|x| | = 0 pierwsze z równań, | x+|x| | = −2x wymaga zrobienia zastrzeżenia −2x≥0 , czyli x≤0 podstawiamy x+|x| = r | r | = −2x lub | r | = 0 r=−2x lub r=2x lub r=0 wracamy do poprzedniej zmiennej x+|x|=−2x lub x+|x|=2x lub x+|x|=0 |x|=−2x−x lub |x|=2x−x lub |x|=−x |x|=−3x lub |x|=x lub |x|=−x zastrzeżenia: równanie |x|=−3x −3x≥0 czyli x≤0 równanie |x|=x: x≥0, ale że wcześniej, przy równaniu | x+|x+|x|| | = −x pojawiło się x ≤ 0, to trzeba zrobić część wspólną z x≥0 oraz x ≤ 0 i ta część wspólna jest równa x=0 równanie |x|=−x: −x≥0 czyli x≤0 (x=−3x lub x=3x) lub (x=x lub x=−x) lub (x=−x lub x=x) pierwszy nawias wynika z równania |x|=−3x dla x≤0 drugi nawias wynika z równania |x|=x dla x=0 trzeci nawias wynika z równania |x|=−x dla x≤0 rozwiązujemy pierwszy nawias dla x≤0 x=−3x lub x=3x x+3x=0 lub x−3x=0 4x=0 lub −2x=0 x=0 lub x=0 Rozw. x=0, spełnia założenie x≤0 rozwiązujemy drugi nawias dla x=0 x=x lub x=−x x−x=0 lub x+x=0 0=0 lub 2x=0 0=0 lub x=0 x∊R lub x=0 → x∊R ale że dziedziną było x=0, to Rozw. x=0 rozwiązujemy trzeci nawias dla x≤0 x=−x lub x=x x+x=0 lub x−x=0 2x=0 lub 0=0 x=0 lub x∊R → x∊R ale że dziedziną było x≤0, to Rozw. x≤0 Teraz bierzemy sumę rozwiązań z pierwszego nawiasu czyli x=0, z drugiego czyli x=0, oraz z trzeciego czyli x≤0 suma tych rozwiązań to x≤0 Rozwiązaniem równania |x+|x+|x+|x||||=0 jest x≤0 czyli to równanie jest spełnione przez dowolną liczbę niedodatnią

Kornela: bardzo baardzo dziękuję za pomoc!

relaa: " To się rozwiązuje od zewnątrz " wyjaśnij dlaczego? Wystarczy tylko rozbić na przypadki dla x ≥ 0 oraz x < 0 i otrzymujemy od razu rozwiązanie. Dla x ≥ 0 |x + |x + |x + |x|||| = 0 |x + |x + |x + x||| = 0 |x + |x + 2x|| = 0 |x + 3x| = 0 4x = 0 ⇒ x = 0 dla x < 0 |x + |x + |x + |x|||| = 0 |x + |x + |x − x||| = 0 |x + |x|| = 0 |x − x| = 0 ⇒ 0 = 0 równanie tożsamościowe, zatem rozwiązaniem jest x < 0. x = 0 ∨ x < 0 ⇒ x ∊ (−∞ ; 0].

yht: dla mnie bardziej naturalnym od definicji wartości bezwzględnej |x|=x dla x≥0 oraz |x|=−x dla x<0 jest fakt że jeśli |coś| = 0 to coś = 0 i to chciałem wykorzystać Twój sposób się okazał lepszy ja zacząłem pisać swoim sposobem, przedłużył się ale jak już zacząłem to postanowiłem że dokończe

relaa: Nie ma sprawy, tylko nie spodobało mi się stwierdzenie, że " To się rozwiązuje od zewnątrz ", a przecież można rozwiązać to inaczej. Pozdrawiam.

yht: Z przyzwyczajenia tak napisałem widzę przykład z zagnieżdżonym modułem i od razu się dobieram do niego od zewnątrz bo np. |x−|4x−|x−3|||=5 Twoją metodą nie rozwiążesz

Eta: Też można ..... przedziałami

yht: na upartego by i przedziałami szarpnął