Szereg potęgowy - obszar zbieżności
H.E.V: Witam
Jak można zbadać obszar zbieżności szeregu potęgowego:
10 gru 14:41
H.E.V: Może konkretnie... doszedłem do tego, że znam promień zbieżności: R = 27. Natomiast nie wiem z
czego skorzystać, aby sprawdzić zbieżność na krańcach przedziału
10 gru 14:42
Kacper:
Podstawić i badać takie szeregi dla konkretnych wartości.
10 gru 14:46
H.E.V: Wówczas mam coś takiego:
| (n!)3 * 27n | |
| i z kryterium D' Alemberta nic nie odstaniemy... a w kryterium |
| (3n)! | |
porównawczym nie mam pojęcia do czego to porównać
10 gru 14:48
Kacper: Taki szereg jest rozbieżny.
10 gru 14:51
H.E.V: Jak to wykazać?
10 gru 14:52
Kacper:
Nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego.
10 gru 14:55
jc:
an = 27n (n!)/(3n)!
an+1/an =(n+1)2/(n+1/3)/(n+2/3) > 1
ciąg an jest rosnący, an > 0, nie może być więc zbieżny do 0, szereg jest rozbieżny.
10 gru 14:56
10 gru 15:03
H.E.V: | | (n!)3 * 27n | |
Ok... lim |
| =∞... ale jak to obliczyć, jak można skrócić n!3 z (3n)! lub |
| | (3n)! | |
jak można to przekształcić... z jakiej własności skorzystać, aby coś takiego wykazać?
10 gru 15:33
jc: a0 = 1, ciąg an jest rosnący (spójrz wyżej). an nie jest zbieżny do zera.
Szereg ∑an nie jest zbieżny (co napisał wcześniej Kacper).
Nic więcej nie trzeba.
10 gru 17:22
jc: Chcesz pokazać (choć to nie jest potrzebne w zadaniu), że an →∞, to pokaż, że
ciąg bn=an/(n+1/2) jest rosnący.
Sprawdź po prostu, że bn+1/bn > 1.
b0 = 1/2, dlatego bn > 1/2, an = bn (n+1/2) = (n+1/2)/2 →∞.
10 gru 17:41
g: Dla x=27 szereg jest rozbieżny, ale dla x<27 jest już zbieżny.
10 gru 20:02