rzut moneta koles: Rzucamy dwanaście razy monetą. Wyznaczyć prawdopodobieństwo , że wypadło tyle samo orłów co reszek przy czym dwunasty rzut to pierwszy rzut, po którym zrównały się liczby orłów i reszek.

Rafal: Przyjmijmy za zbiór zdarzeń elementarnych Ω wszystkie dwunastoelementowe ciągi (a_n) o wyrazach ze zbioru {O, R} − wtedy |Ω|=2¹². Zauważmy, że (a₁, a₂, a₁₁, a₁₂)=(O, O, R, R) lub (a₁, a₂, a₁₁, a₁₂)=(R, R, O, O). Załóżmy, że (a₁, a₂, a₁₁, a₁₂)=(O, O, R, R) (na końcu skorzystamy z symetrii i pomnożymy wynik przez 2). Rozpatrzymy trzy przypadki (niewymienione prowadzą do sprzeczności). 1) W każdej z dwójek: (a₃, a₄), (a₅, a₆), (a₇, a₈), (a₉, a₁₀) znajduje się dokładnie jeden orzeł i jedna reszka − oczywiście każdy taki ciąg a_n ma żądaną własność (2⁴=16 możliwości). 2) W każdej z powyższych dwójek znajdują się albo dwa orły albo dwie reszki. Musi być (a₃, a₄)=(O, O) i (a₉, a₁₀)=(R, R). Pozostałe dwa orły i dwie reszki można umieścić w środkowych dwójkach na dwa sposoby (2 możliwości). 3) W dokładnie dwóch z powyższych dwójek znajdują się albo dwa orły albo dwie reszki. a) Jeśli a₃=a₄, to (a₃, a₄)=(O, O), czyli na jednej z pozostałych trzech dwójek muszą znaleźć się dwie reszki. Na dwóch innych można umieścić dwa orły i dwie reszki na 2*2=4 sposoby (3*4=12 możliwości). b) Jeśli a₃≠a₄ i a₅=a₆, to (a₅, a₆)=(O, O), czyli na jednej z dwójek: (a₇, a₈), (a₉, a₁₀) musza znaleźć się dwie reszki. Na dwóch pozostałych można umieścić dwa orły i dwie reszki na 2*2=4 sposoby (2*4=8 możliwości). c) Jeśli a₃≠a₄ I a₅≠a₆, to a₇=a₈ i a₉=a₁₀. Ponieważ (a₉, a₁₀)=(R, R), to (a₇, a₈)=(O, O). Na dwóch pozostałych dwójkach można umieścić dwa orły i dwie reszki na 2*2=4 sposoby (4 możliwości). W SUMIE mamy 16+2+12+8+4=42 możliwości, a po uwzględnieniu symetrii − 84 możliwości, co potwierdza C++.

Rafal: Zapomniałem napisać, że liczby wyrzuconych orłów i reszek mogą się zrównać tylko po wykonaniu parzystej liczby rzutów.

Mila: Rzucamy 12 razy symetryczną monetą |Ω|=2¹² A − wypadło tyle samo orłów co reszek przy czym dwunasty rzut to pierwszy rzut, po którym zrównały się liczby orłów i reszek.

	11!
|A|=2*		=84*11
	6!*5!

	84*11		21*11		231
P(A)=		=		=
	212		210		1024

Rafal: Nie wiem, czy wypada mi zwracać uwagę lepszym od siebie, ale trudno. Wydaje mi się, że w powyższy sposób liczymy prawdopodobieństwo, że po 12 rzutach sumy wyrzuconych orłów i reszek zrównają się, ale niekoniecznie po raz pierwszy...

Rafal: Takie wyniki dostałem. O O O O O O R R R R R R O O O O O R O R R R R R O O O O O R R O R R R R O O O O O R R R O R R R O O O O O R R R R O R R O O O O R O O R R R R R O O O O R O R O R R R R O O O O R O R R O R R R O O O O R O R R R O R R O O O O R R O O R R R R O O O O R R O R O R R R O O O O R R O R R O R R O O O O R R R O O R R R O O O O R R R O R O R R O O O R O O O R R R R R O O O R O O R O R R R R O O O R O O R R O R R R O O O R O O R R R O R R O O O R O R O O R R R R O O O R O R O R O R R R O O O R O R O R R O R R O O O R O R R O O R R R O O O R O R R O R O R R O O O R R O O O R R R R O O O R R O O R O R R R O O O R R O O R R O R R O O O R R O R O O R R R O O O R R O R O R O R R O O R O O O O R R R R R O O R O O O R O R R R R O O R O O O R R O R R R O O R O O O R R R O R R O O R O O R O O R R R R O O R O O R O R O R R R O O R O O R O R R O R R O O R O O R R O O R R R O O R O O R R O R O R R O O R O R O O O R R R R O O R O R O O R O R R R O O R O R O O R R O R R O O R O R O R O O R R R O O R O R O R O R O R R R R O R O R O R O R O O R R O R O R O R R O O O R R O R O R R O O R O O R R O R O R R O R O O O R R O R O R R R O O O O R R O R R O O R O R O O R R O R R O O R R O O O R R O R R O R O O R O O R R O R R O R O R O O O R R O R R O R R O O O O R R O R R R O O O R O O R R O R R R O O R O O O R R O R R R O R O O O O R R O R R R R O O O O O R R R O O R O R O R O O R R R O O R O R R O O O R R R O O R R O O R O O R R R O O R R O R O O O R R R O O R R R O O O O R R R O R O O R O R O O R R R O R O O R R O O O R R R O R O R O O R O O R R R O R O R O R O O O R R R O R O R R O O O O R R R O R R O O O R O O R R R O R R O O R O O O R R R O R R O R O O O O R R R O R R R O O O O O R R R R O O O R O R O O R R R R O O O R R O O O R R R R O O R O O R O O R R R R O O R O R O O O R R R R O O R R O O O O R R R R O R O O O R O O R R R R O R O O R O O O R R R R O R O R O O O O R R R R O R R O O O O O R R R R R O O O O R O O R R R R R O O O R O O O R R R R R O O R O O O O R R R R R O R O O O O O R R R R R R O O O O O O

Mila: Dążenie do prawdy zawsze mile widziane. Zaraz pomyślę o tym małym zwrocie "po raz pierwszy" ( nie zwróciłam wcześniej na to uwagi). Teraz będę miała przerwę. Do zobaczenia po 20.

Rafal: Mam nadzieję, że pojawi się jakieś ładniejsze rozwiązanie, bo, nie ma co ukrywać, moje jest "zaciemnione" i prawdopodobnie nie każdy zrozumie.