Wykaż, że dla dowolnych liczb a,b > 0... Razeer123: Cześć, mam dwa zadanka na wykazywanie, których nie rozumiem. Moglibyście mi je rozwiązać i (w miarę możliwości) wytłumaczyć? 1) Wykaż, że dla dowolnych liczb a,b > 0 a⁴ + b⁴ ≥ a³ + ab³ 2) Wykaż, że dla dowolnych liczb a,b,c,d>0 √(a+c)(b+d) ≥ √ab + √cd Dziękuję!

yht: 1) dla a=0.1, b=0.1 nierówność nie jest spełniona Sprawdź czy dobrze przepisałeś zad. 1 2) √(a+c)(b+d) ≥ √ab + √cd |()² (a+c)(b+d) ≥ (√ab+√cd)² ab+ad+bc+cd ≥ ab + 2√ab*cd + cd (stosujemy po prawej wzór skróconego mnożenia) ab+ad+bc+cd−ab−cd ≥ 2√abcd ad+bc ≥ 2√abcd ad+bc ≥ 2√ad*bc podstawiamy ad = x, bc = y x+y ≥ 2√x*y |()² (x+y)² ≥ (2√xy)² x²+2xy+y² ≥ 4xy x²+2xy+y²−4xy ≥ 0 x²−2xy+y² ≥ 0 (x−y)² ≥ 0

Bogdan: Prawdopodobnie w pierwszym zadaniu powinno być: a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³, ale niech potwierdzi to Razeer123

Razeer123: Tak, Bodan ma rację. Pomyliłem się i zgubiłem literkę, powinno być dokładnie tak jak mówi: a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³ Przepraszam za kłopot

Razeer123: Ale bardzo dziękuję yht za odpowiedź, stało się to dla mnie odrobinę jaśniejsze Jeszcze prosiłbym o rozwiązanie tej pierwszej nierówności, bo wciąż jej nie umiem zrobić.

Bogdan: Wykonujemy przekształcenia równoważne. a⁴ − a³b + b⁴ − ab³ ≥ 0 ⇒ a³(a − b) − b³(a − b) ≥ 0 ⇒ (a − b)(a³ − b³) ≥ 0 (a − b)(a − b)(a² + ab + b²) ≥ 0 dokończ sam

Razeer123: Dziękuję za pomoc, zadanie skończyłem bez problemu. Chyba to wreszcie zrozumiałem