W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie
olgierd: Do zadania przykład z4+16=0 ? Nie mam zielonego pojęcia, jak się za to zabrać.
Wstawić x+iy pod z? Później wzorami skr. mnożenia?
6 gru 23:33
jc: Taka sztuczka:
z4+4=(z2+2)2−(2z)2,
dalej łatwo.
6 gru 23:37
olgierd: co to za czary?
6 gru 23:39
olgierd: chyba (z2+4)2 − 2(2z)2 ?
6 gru 23:42
Krzysiek: z4+16=0
z4−16i2=0
z4−(4i)2=0
(z2−4i)(z2+4i)=0
6 gru 23:53
Metis: Podstawienie t=z2 i Δ
lub
z4+16=0 ⇔ z4+24=0 ⇔ (z2)2+(22)2=0
a2+b2= (a+b)2 − 2ab
a=z2, b=4
7 gru 00:13
jc: Mamy co najmniej 3 sposoby na rozwiązanie.
1. z4 = − 4 Wzór de'Moivre
2. sprawdzenie, że liczby z = 1+i, 1−i, −1+i, −1−i spełniają równanie (więcej rozwiązań
być nie może)
3. z4+4 = (z2+2)2−(2z)2 i rozwiązanie 2 równań kwadratowych:
z2+2 = 2z oraz z2+2=−2z.
7 gru 06:33
olgierd: Możecie mi wytłumaczyć krok po kroku, jak do tego "doszliście" i co dalej?
7 gru 09:21
Jerzy:
z4 + 16 = 0 ⇔ (z2 + 4)2 − 8z2 = 0 ⇔ (z2 − 2√2z + 4)(z2 + 2√2z + 4) = 0
z2 − 2√2z + 4 = 0 ⇔ (z − √2)2 + 2 = 0 ⇔ (z −√2)2 − (√2i)2 = 0 ⇔
⇔ (z − √2 − √2i)(z − √2 + √2i) = 0 ⇔ z = √2 −√2i lub z = √2 − √2i
i podobnie z drugim nawiasem: (z2 + 2√2z + 4) = 0
7 gru 11:07
olgierd: skąd się wzięło to rozbicie na dwa nawiasy?
7 gru 11:23
Jerzy:
a2 − b2 = (a+b)(a−b)
(z2 + 4)2 − 8z2 = (z2 + 4)2 − (2√2z)2
7 gru 11:25
pytanie: jak zrobić to wzorem de Moivre?
7 gru 17:07
Mila:
z
4=−16
z=
4√−16
|−16|=16
φ=π
| | π+2kπ | | π+2kπ | |
zk=4√16*(cos |
| +i sin |
| ), k∊{0,1,2,3} |
| | 4 | | 4 | |
| | π | | π | |
z0=2*(cos |
| +i sin |
| )=√2+i √2=√2*(1+i) |
| | 4 | | 4 | |
| | 3π | | 3π | |
z1=2*(cos |
| +i sin |
| )=−√2+i √2=√2*(−1+i) |
| | 4 | | 4 | |
| | 5π | | 5π | |
z2=2*(cos |
| +i sin |
| )=−√2−i √2=√2*(−1−i) |
| | 4 | | 4 | |
| | 7π | | 7π | |
z3=2*(cos |
| +i sin |
| )=√2−i √2=√2*(1−i) |
| | 4 | | 4 | |
7 gru 18:48