Wykaż, że podzielne przez 5 S: To zadanie wprawdzie pojawiło się już na forum, ale nie chodzi mi tutaj o jego rozwiązanie. Prosiłbym, żeby ktoś zerknął czy moje rozumowanie może do czegoś prowadzić. Zadanie rozwiązałem już poprawnie na inny sposób, ale jestem ciekaw, czy byłem chociaż blisko rozwiązując je w ten sposób: k(k+1)(k+9)+(k² + 1) k⁵ + 10k⁴ + 10k³ + 10k² + 9k k⁵ + 10k⁴ + 10k³ + 10k² + 10k − k k⁵ − k + 10(k⁴ + k³ + k² + k) k(k⁴ − 1) + 10(k⁴ + k³ + k² + k) k(k²+1)(k+1)(k−1) + 10(k⁴ + k³ + k² + k) Na tym etapie się zatrzymałem, po prawej stronie znaku + jest liczba podzielna przez 10, więc i przez 5. Po lewej za to mam 3 kolejne liczby oraz (k² + 1). Pomyslalem sobie, ze gdyby jakos rozbic to na dwie kolejne, inne niz poprzednie 3, liczby to zadanie można by rozwiązać w ten sposób. Lub też jakoś udowodnić, że całość k(k²+1)(k+1)(k−1) w inny sposób jest podzielna przez 5 niż za pomocą tych 5 kolejnych liczb całkowitych. Czy to rozumowanie dokądkolwiek prowadzi? Jeśli tak byłbym wdzięczny za wskazówkę. Była to moja pierwsza myśl co do rozwiązania zadania i w sumie wolałbym, aby każde zadanie jakie robie mogło być rozwiązane za pomocą pierwszego pomysłu. Jeśli nie to przynajmniej będę wiedział jakie pomysły prowadzą donikąd

yht: da się to pociągnąć do końca jeśli któraś z liczb (k−1), k, (k+1) jest podzielna przez 5, to całość dzieli się przez 5 potem rozważasz przypadek w którym żadna z liczb (k−1), k, (k+1) nie dzieli się przez 5 będzie tak wtedy gdy: po pierwsze: (k−1) będzie przy dzieleniu przez 5 dawało reszty 1 czyli k−1 = 5a+1 wtedy k − reszty 2 czyli k = 5a+2 (k+1) − reszty 3 podstawiasz k=5a+2 do liczby (k²+1) k²+1 = (5a+2)²+1 = 25a²+20a+4+1 = 25a²+20a+5 = 5(5a²+4a+1) okazało się że liczba (k²+1) jest podzielna przez 5 to wystarcza żeby udowodnić podzielność k(k²+1)(k+1)(k−1) przez 5 następnie rozważasz przypadek w którym (k−1) przy dzieleniu przez 5 będzie dawało reszty 2 wtedy k − reszty 3 czyli k=5a+3 k+1 − reszty 4 k²+1 = (5a+3)²+1 = ... = 5(...)

S: Łapie, w zasadzie to dałoby się po prostu w jakiś sposób udowodnić fakt, że (x² + 1) jest zawsze podzielne przez 5?

yht: niestety nie zawsze taka liczba jest podzielna przez 5 wystarczy np. podstawić x=4 ogólnie, jeśli nie ma się pomysłu na takie zadania, to można je robić 'na chama' podstawiać pod początkowe wyrażenie k(k+1)(k+9)+(k²+1) kolejno k=5a k=5a+1 k=5a+2 k=5a+3 k=5a+4 musi wyjść choć dużo pisania jest

S: A wobec tego w jaki sposób najlepiej się za takie zadania brać? Jest coś na co powinienem zwracać szczególną uwagę podczas rozwiązywania takowych? Bo faktycznie podstawianie na hama jest metodą, która zawsze działa, ale zabiera dużo czasu, a na maturze, do której się przygotowuje zwyczajnie może go wtedy zabraknąć.

jc: Czy mógłbyś przypomnieć zadanie?

S: @jc jak to przypomnieć. Przecież chyba jest u góry?

S: Teraz zauważyłem, że jest błąd, zamiast + powinno być mnożenie. Wyrażenie, które badamy to: k(k+1)(k+9)(k2 + 1)

jc: No właśnie nie ma zadania. Chyba że "Wykaż, że podzielne przez 5" odnosi się do "k(k+1)(k+9)+(k² + 1)" Dla całkowitych k nie wyrażenie powyżej nie dzieli się przez 5.

Eta: k(k+1)[(k−1)+10] ((k²−4)+5] = k(k+1)(k −1)(k−2)(k+2)+5*k(k+1)(k−1)+10(k²−4) +15 = (k−2)(k−1)k(k+1)(k+2) −−−− jest iloczynem kolejnych pięciu liczb naturalnych zatem jest liczbą podzielną przez 5 pozostałe składniki mają w iloczynie też podzielne przez 5 zatem.......... taka liczba jest podzielna przez 5

S: Tak odnosi się, ale faktycznie również źle napisałem, Zamiast + jest zwykłe mnożenie. Poprawiłem chwilę wyżej.

S: @Eta no i pozamiatane. Wielkie dzięki