Dowodzenie nierówności
Dtw: Proszę o pomoc w dowodzie nierówności:
Wykaż, że jeśli a,b,c są liczbami dodatniki to zachodzi nierówność:
a + b + c ≥ √ab+√bc+√ca
5 gru 17:43
Adamm: z nierówności pomiędzy średnimi, geometryczną a arytmetyczną mamy:
| a+b | | b+c | | c+a | |
| ≥√ab, |
| ≥√bc, |
| ≥√ca, dodając stronami otrzymujemy |
| 2 | | 2 | | 2 | |
a+b+c≥
√ab+
√bc+
√ca
5 gru 17:52
yht:
a,b,c>0
startujemy z prawdziwej nierówności
(√a−√b)2 ≥ 0
a−2√a*b+b≥0
a+b ≥ 2√a*b
potem to samo tylko dla innych literek:
(√b−√c)2 ≥ 0
b−2√b*c+c ≥ 0
b+c ≥ 2√b*c
(√a−√c)2 ≥ 0
a−2√a*c+c ≥ 0
a+c ≥ 2√a*c
dodając stronami pogrubione nierówności, otrzymujemy
2a+2b+2c ≥ 2√ab+2√bc*2√ac
dzielimy przez 2 i mamy tezę
5 gru 17:58
Dtw: Dziękuję za pomoc
5 gru 18:04