Dowodzenie nierówności Dtw: Pomógłby ktoś z dowodem nierówności? a,b ∊R a² + b² ≤ 2 ⇒ |a+b| ≤ 2

Smule: Szukaj podobnego zadania z tegorocznej matury

Milo: a² + b² ≤ 2

a2 + b2
	≤ 1
2

Z zależności między średnimi (arytmetyczną a kwadratową) wynika, że

a2 + b2
	≥ √a2b2
2

Stąd mamy √a²b² ≤ 1 |ab| ≤ 1 2|ab| ≤ 2 Sumując z nierównością daną z założenia: a² + 2|ab| + b² ≤ 4 |a|² + 2|a||b| + |b|² ≤ 4 Pierwiastkując stronami: |a| + |b| ≤ 2 A wiadomo, że |a+b| ≤ |a| + |b| Stąd |a+b| ≤ 2