analiza matematyczna
Krzysztof: | an+1 | | n2 * (−1)n | | n2 | |
| = |
| = |
| →(−1) − <1, zbieżny |
| an | | (n+1)2 *( −1)n * (−1) | | −n2−2n−1 | |
zbieżność się zgadza ale a
n powinien biec do 0, a nie do −1. co tu jest nie tak? nie to
kryterium?
| | 1 | |
ogólnie zadanie wygląda tak ∑∞ (−1)n |
| |
| | n2 * (−1)n | |
1 gru 11:24
ICSP: Przecież (−1)n się skraca i dostajesz zwykły zbieżny szereg harmoniczny rzędu 2.
1 gru 11:26
Krzysztof: Można tak zrobić, bez stosowania kryterium Leibniza?
1 gru 11:33
Benny: Co ma do tego kryterium Leibniza?
1 gru 11:35
ICSP: Można.
1 gru 11:36
Krzysztof: Dobra pojawił się pewien problem. an miało być an=U{1}{n2+(−1)n) zamiast " * ".
Holy shit całe zadanie inaczej...
1 gru 11:36
1 gru 11:36
ICSP: nadal jest zbieżny bezwzględnie. Trzeba tylko rozpączać sumowanie od n = 2
1 gru 11:37
Benny: Nadal zbieżny
1 gru 11:37
Krzysztof: jakie kryterium powinienem tutaj zastosować w takim razie?
1 gru 11:38
ICSP: Porównawcze w postaci granicznej.
1 gru 11:40
Benny: Na moduł to wziąć i wyjdzie Ci bezwzględnie zbieżny (harmoniczny rzędu 2)
1 gru 11:40
Krzysztof: | | 1 | |
moduł "usunie" nam tutaj (−1)n i zostanie samo |
| który jest zbieżny? |
| | n2 | |
1 gru 11:42
Krzysztof: | | 1 | | 1 | |
jeśli chodzi o porównawcze to po prostu dać |
| ≤ |
| ? |
| | n2 + (−1)n | | n2 | |
1 gru 11:44
Krzysztof: coś jest nie tak bo dla np. n=3, nierówność nie jest spełniona...
mógłby mi ktoś to bardziej rozpisać, wytłumaczyć?..
1 gru 11:47
ICSP: Jeżeli już bardzo chcesz to robiż z porównawczego to tak :
−1 ≤ (−1)
n
n
2 − 1 ≤ n
2 + (−1)
n
| 1 | | 1 | |
| ≥ |
| (wszystkie nierówności są dla n ≥ 2 ) |
| n2 − 1 | | n2 + (−1)n | |
| | 1 | |
Teraz zbadaj z definicji zbieżność szeregu : ∑ |
| (sumowanie od n = 2) |
| | n2 − 1 | |
1 gru 11:52
Krzysztof: | | 1 | |
wystarczy dać limn→oo |
| = 0, prawda? |
| | n2−1 | |
więc szereg a
n jest zbieżny
1 gru 12:01
ICSP: Nie wystarczy.
| | 1 | |
To warunek konieczny, ale nie wystarczajacy ( patrz szereg ∑ |
| ) |
| | n | |
1 gru 12:05
Krzysztof: Jeszcze mam coś takiego:
| | 1 | |
Sprawdzamy zbieżność bezwględną an= |
| |
| | n√n | |
| | 1 | | 1 | |
i z kryterium porównawczego: n√n ≤ n ⇒ |
| ≥ |
| więc szereg an jest |
| | n√n | | n | |
rozbieżny
jest dobrze?
1 gru 12:08
Krzysztof: | | 1 | |
tam z szeregów Dirichleta |
| , α>1 więc jest zbieżny |
| | nα | |
1 gru 12:12
ICSP: warunek konieczny nie jest spełniony.
1 gru 12:15
Krzysztof: to do tego 1 czy 2 zad?
1 gru 12:17
ICSP: do 2.
1 gru 12:21
Krzysztof: mógłbyś napisać, co jeszcze tu powinienem dodać?
1 gru 12:22
ICSP: W pierwszym − zbadaj zbieżnośc z definicji
W drugim − badaj zbieżność z kryterium Leibniza.
1 gru 12:37
Krzysztof: w tym drugim zbadałem własnie z kryterium Leibniza i wyszedł mi, że nie jest zbieżny
bezwzględnie oraz nie jest zbieżny warunkowo gdyż an+1>an, więc jest rozbierzny, ale nie
wiem czy nie powinienem jeszcze czegoś tu dopisać
1 gru 12:40
ICSP: drugi nie jest ani zbieżny bezwzględnie ani warunkowo ponieważ lim an = 1
Pozostaje pierwszy.
1 gru 12:49
Krzysztof: do tego 1 zadania dodałem Dirichleta. to dalej nie jest wystarczające?
1 gru 12:53
ICSP: | | 1 | | 1 | |
ale szereg ∑ |
| nie jest równy ∑ |
| |
| | nα | | n2 − 1 | |
1 gru 12:54
Krzysztof: Czy powinienem skożystać tutaj z definicji granicy ciągu zbieżnego, żeby pokazać, że granic
tego ciągu równa się 0?
1 gru 13:08
ICSP: | | 1 | |
Masz pokazać, że szereg ∑ |
| jest zbieżny z definicji, czyli policzyć nastąpującą |
| | n2 − 1 | |
granicę :
| | 1 | |
limn → ∞ ∑k = 1n |
| (sumowanie przebiega od 1 do n) |
| | k2 − 1 | |
Jeżeli ta granica wyjdzie skończona to szereg będzie zbieżny.
1 gru 13:14