Reszta z dzielenia wielomianu bez dzielenia BiednyStudent: Nie wykonując dzielenia znajdź resztę z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q: a) P(x)= x16 +3x6 +2 Q(x)= x2 +1 b) P(x)= x30 +5x12 +1 Q(x)= x3−1 Znalazłem w internecie kila sposobów, ale żaden mi nie pasował do tych wielomianów

Adamm: x¹⁶=(x²+1−1)⁸=R₁(x)(x²+1)+(−1)⁸=R₁(x)(x²+1)+1 x⁶=(x²+1−1)³=R₂(x)(x²+1)+(−1)³=R₂(x)(x²+1)−1 P(x)=(x²+1)R₁(x)+3(x²+1)R₂(x)+1−3+2 reszta wynosi 0

BiednyStudent: Oj teraz zauważyłem, że zapomniałem prawidłowo działania zapisać: a) P(x)= x¹⁶ +3x⁶ +2 Q(x)= x² +1 b) P(x)= x³⁰ +5x¹² +1 Q(x)= x³−1 @Adamm: rozumiem, że to rozwiązanie do a ? Nic nie rozumiem, ale w między czasie udało mi się rozwiązać to za pomocą liczb zespolonych. Chociaż jak wyszło, że ai+b = 0 to myślałem, że coś źle zrobiłem jednak. A co z b ? tam już jest x³

Adamm: x³⁰=(x³−1+1)¹⁰=R₁(x)(x³−1)+1 x¹²=(x³−1+1)⁴ = R₂(x)(x³−1)+1 reszta wynosi 7

Adamm: jak wiesz z dwumianu Newtona

	n k
(a+b)n=∑k=0n		akbn−k

stąd wszystkie liczby oprócz ostatniej muszą być podzielne przez a

BiednyStudent: Kompletnie tego nie rozumiem R₁(x)(x³−1)+1 R₂(x)(x³−1)+1 I co nam dają te równania ? Co z tym dalej zrobić ? skąd to 7 ? Albo jest już późno i nie myślę, albo to jest jakieś skomplikowane mocno

Adamm: co nam dają? R₁(x)(x³−1) etc. dzieli się bez reszty przez x³−1 jak wiesz, nawet na liczbach, jak dzielisz 5 na 2 to można to przedstawić 5=2*2+1, reszta to 1 tak samo mamy z wielomianami

BiednyStudent: No to: R₁(x)(x³−1)+1 + 5*(R₂(x)(x³−1)+1) +1 podzieli się przez x³−1 z resztą 7 ? Jestem kompletnie zagubiony. No i skąd wiadomo, że (x³−1+1)¹0 = R₁(x)(x³−1)+1 ?

Adamm: pierwsze pytanie: tak, dokładnie drugie pytanie: z dwumianu Newtona, w poście 21:15 próbowałem ci to wyjaśnić

BiednyStudent: Dobra, to ten dwumian jutro spróbuję ogarnąć. A skąd wiemy, że reszta to 7 ? Nie wiadomo ile to R₁(x) i R₂(x).

Adamm: ważne jest tylko to że R₁(x) oraz R₂(x) są wielomianami, reszta jest zbędna

BiednyStudent: A reszta nie będzie w postaci ax+b czy coś takiego ?

Eta: w b) W(1)=R ⇒ 1+5+1= 7 bo pierwiastkiem x³−1 jest w zbiorze ℛ x= 1

Maja: A jak policzyć resztę z dzielenia x³⁰+5x¹²+1 przez x⁵+1?

Eta: W(−1) = R bo x⁵+1=0 ⇒ x= −1

Maja: Ale dlaczego tak ? Skoro reszta może być wielomianem stopnia 4?

BiednyStudent: No właśnie, też nie rozumiem czemu reszta to cały czas pojedyncza liczba, a nie równanie. A dla q (x) = x⁴ − 1 ?

BiednyStudent: Przecież reszta z dzielenia przez x⁵+1 to w programie wychodzi: 5x²+2

ICSP: x³⁰ + 5x¹² + 1 = x³⁰ − 1 + 5x¹² + 2 = x³⁰ − 1 + 5x¹² − 5x² + 5x² + 2 = = x³⁰ − 1 + 5x²(x¹⁰ − 1) + (5x² + 2) R(x) = 5x² + 2

BiednyStudent: I skąd wiadomo, że po takim rozkładzie reszta to akurat 5x²+2 ? Nie rozumiem jak do tego dojść.

Adamm: x¹⁰−1=(x⁵+1)(x⁵−1) x³⁰−1=(x¹⁵−1)(x¹⁵+1)=(x¹⁵−1)(x⁵+1)(x¹⁰−x⁵+1)

BiednyStudent: No dla mnie to jest magia. Skąd wy wiecie, że to akurat tak można rozłożyć ? No nie potrafię tego zrozumieć. Jak patrze na te liczby, to nic mi nie mówi, że to się da tak rozłożyć i że wtedy ostatni nawias nagle będzie resztą A tak w ogóle to gdzie Q(x) ? P(x) = x³⁰ + 5x¹² + 1 Q(x)= x⁵ + 1 Powinno być jakoś: P(x)=Q(x)*W(x)+R(x) x³⁰ + 5x¹² + 1 = (x⁵+1) * W(x) + R(x) A jest tak: x³⁰ + 5x¹² + 1 = x³⁰ − 1 + 5x²(x¹⁰ − 1) + (5x² + 2) x³⁰ + 5x¹² + 1 = x³⁰ − 1 + 5x² * [(x⁵+1) * (x⁵−1)] + (5x² + 2) P(x) = x³⁰ − 1 + 5x² * [Q(x) * (x⁵−1)] + R(x) To W(x) jest jakoś dziwnie wymieszane z tym Q(x)

Adamm: P(x)=[(x¹⁵−1)(x¹⁰−x⁵+1)+5x²(x⁵−1)]Q(x)+5x²+2

BiednyStudent: No jak bym miał inny przykład, to nie wiem jak bym miał zauważyć taki rozkład jak ty. Nadal nie wiem skąd miałeś pomysł na ten rozkład. Chyba sobie jednak odpuszczę zrozumienie tego Ktoś mi wysłał też coś takiego: Q(x)=x⁵+1 x³⁰+5x¹²+1 − x²⁷*Q(x) = x²⁷+5x¹²+1 x²⁷+5x¹²+1 − x²⁴*Q(x) = x²⁴+5x¹²+1 x²⁴+5x¹²+1 − x²¹*Q(x) = x²¹+5x¹²+1 x²¹+5x¹²+1 − x¹⁸*Q(x) = x¹⁸+5x¹²+1 x¹⁸+5x¹²+1 − x¹⁵*Q(x) = x¹⁵+5x¹²+1 x¹⁵+5x¹²+1 − x¹²*Q(x) = x¹²+5x¹²+1 x¹²+5x¹²+1 = 6x¹²+1 6x¹²+1 − 6x⁹*Q(x) = 6x⁹+1 6x⁹+1 − 6x⁶*Q(x) = 6x⁶+1 6x⁶+1 − 6x³*Q(x) = 6x³+1 6x³+1 − 6*Q(x) = 6+1 6+1 = 7 Tego też KOMPLETNIE nie rozumiem, ale za to mimo tego, że nie rozumiem, to jestem w stanie to robić na ślepo też do innych przykładów tylko strasznie to długie.

BiednyStudent: Pomyliłem się tam: tzn. to rozwiązanie długie to akurat do: Q(x)=x³−1

BiednyStudent: W sumie nie zastosuję tego do x⁵+1, więc chyba już temat odpuszczę kompletnie... Może cała ta dyskusja się przynajmniej komuś innemu przyda, kto jest bardziej kumaty

Adamm: to co napisałeś to dokładnie to samo co dzielenie ręcznie po prostu odejmujesz największą potęgę