wykaż nahh: Dany jest wielomian W(x)=ax³+bx²+cx+d o współczynnikach całkowitych. Wykaż, że jeżeli W(0) i W(1) są liczbami całkowitymi nieparzystymi to wielomian W(x) nie ma pierwiastków całkowitych. Nawet nie wiem od czego zacząć

Adamm: Z: W(0)=2k₁+1, W(1)=2k₂+1, a, b, c, d∊C, W(x)=ax³+bx²+cx+d, k₁, k₂∊C T: W(x) nie ma pierwiastków całkowitych D: W(0)=d ∧ W(0)=2k₁+1 ⇒ d=2k₁+1 W(1)=a+b+c+d ∧ W(1)=2k₂+1 ⇒ a+b+c+d=2k₂+1 ⇔ a+b+c+2k₁+1=2k₂+1 ⇔ ⇔ a+b+c=2(k₂−k₁) na mocy tw. o pierwiastkach całkowitych, pierwiastki całkowite W(x) muszą być nieparzyste W(2n+1)=8an³+12an²+6an+a+4bn²+4bn+b+2cn+c+d ⇔ ⇔ W(2n+1)=2(4an³+6an²+3an+2bn²+2bn+cn+k₂−k₁+k₁)+1 ponieważ 4an³+6an²+3an+2bn²+2bn+cn+k₂−k₁+k₁∊C to W(2n+1)=2m+1, m∊C ⇒ W(2n+1)≠0 ⇒ W(x) nie ma pierwiastków całkowitych c. n. d.