Zbadaj zbieżność szeregu mm: Zbadaj zbieżność szeregu ∑(8log n)/n⁴ Najlepiej za pomocą kryterium porównawczego, Cauchy'ego, d'Alemberta lub szeregu Dirichleta, bo głównie z tego korzystaliśmy na zajęciach.

ICSP: log n < n

Jack: porownawcze, zastosuj tesc postu ICSP

Jack: PS nie wiedzialem ze dla log tez to zachodzi, wiem ze jest takie cos ln x ≤ x−1

mm: Dzięki!

'Leszek: Na podstawie kryterium popownawczego log n < n 8 ∑ (log n)/n⁴ ≈ 8 ∑ 1/n³ , zbiezny

jc:

	log n
A jak jest ze zbieżnością szeregu ∑		?
	n √n

'Leszek: Ten szereg jest rozbiezny chodz spelniony jest warunek konieczny ,czyli

	log n
lim		= 0 , dla n → ∞
	n√n

oraz log n < n Czyli na mocy kryterium porownawczego z szeregiem harmonicznym

	log n		1
∑		≈ ∑		, rozbiezny
	n√n		√n

Adamm:

	logx		logx		1
∫		dx = −2		+ 2∫		dx =
	x3/2		x1/2		x3/2

	logx		1
−2		−4		+C
	x1/2		x1/2

	logx		logx		1
∫1∞		dx = limt→∞ [ −2		−4		]1t =
	x3/2		x1/2		x1/2

	logt		4
=limt→∞ −2		−		+4 = 4
	t1/2		t1/2

z kryterium całkowego szereg jest zbieżny

Adamm:

	1
'Leszek, źle użyte kryterium, w takim razie szereg		też jest rozbieżny
	n2

jc: Tak, zbieżny. Wg ICSP log n = 4 log n^1/4 ≤ 4 n^1/4

log n		4 n1/4		4
	≤		=
n √n		n √n		n * n1/4

'Leszek: Pytanie do jc: To ktore przyblizenie jest poprawniejsze i dlaczego log n < n Czy log n < 4n ^1/4

jc: Oba oszacowania są poprawne. Ale pierwsze nam nie wystarczy. Faktycznie wystarczyłoby takie oszacowanie: log n ≤ 3 n^1/3

'Leszek: Zgadzam sie , wobec tego najlepsze oszacowanie to chyba log n < 2√n

	log n
Wowczas ∑		≈ ∑ (1/n) i otrzymujemy szereg harmoniczny rozbiezny.
	n√n

Mam jeszcze pytanie do p.Adamm wedlug mnie jest to logarytm dziesietny ,wiec jak policzyles calke ?

Adamm: 'Leszek, czasami się zapisuje logx jako logarytm naturalny, a to czy jest naturalny czy dziesiętny

	lnx
akurat jest mało ważne, ponieważ logx=
	ln10

jc: Oszacowanie log n ≤ 2√n jest za słabe. Szereg jest zbieżny. Co oznacza symbol ≈ w drugiej linii? Gdzie tu widzisz logarytm dziesiętny? (podstawa nie ma znaczenia dla zbieżności naszego szeregu)

jc: Czasem? Wskaż miejsce gdzie log (bez zaznaczenia podstawy) oznacza jakiś inny logarytm niż naturalny.

'Leszek: Mam przed soba podrecznik do Analizy Matematycznej wg.W.Krysicki w ktory symbol log x oznacza logarytm dziesietny ,a symbol ln x oznacza logarytm naturalny ,takie same symbole mam w kalkulatorze .To tak tylko dla scislosci.

jc: Dziękuję Po prostu przyzwyczaiłem się, że w licząc na komputerze zawsze wpisuję log. W posiadanych podręcznikach, poza kilkoma książkami do informatyki i do chemii, nie pojawia się inny logarytm niż naturalny. Oznaczenie log (jako ln) i ln widuję prawie tak samo często.