dla jakich wartości n równanie ma 3 pierwiastki całkowite Ania: Dla jakich wartości n∊N równanie: x⁽n+1) + 64 = xⁿ + 64x ma trzy pierwiastki całkowite? Wyliczyłam, że dla n=2 i 6, ale czy to wszystkie mozliwosci? Myślałam również o n=3 x⁴−x³−64x+64=0 x³(x−1) − 64(x−1) = 0 (x−1)(x³ − 64) = 0 (x−1)(√x³ − 8)(√x³ + 8) = 0 z tego: x=10 x⁽3/2) (x do potęgi 3/2) = 8, więc x³=82, czyli x=4 (analogicznie w trzecim przypadku) , ale nie wiem czy to poprawny tok myślenia i czy można tak rozwiązać to równanie. I czy to są wszystkie możliwości? Czy może można wyprowadzić jakiś wzór ogólny i okaże się, że odpowiedzi jest dużo więcej?

ICSP: x^{n + 1} − xⁿ − 64x + 64 = 0 xⁿ(x − 1) − 64(x − 1) = 0 (xⁿ − 64)(x − 1) = 0 xⁿ = 64 v x = 1 dla n nieparzystych będziemy mieli tylko dwa rozwiązania, dla n parzystych dostajemy x = + ⁿ√64 v x = −ⁿ√64 v x = 1 Wystarczy zatem aby ⁿ√64 był liczbą naturalną 64 = 2⁶ = 4³ = 8² jedynymi parzystymi potęgami są 6 oraz 2. Ostatecznie n = 2 v n = 6

Ania: Oo i teraz rozumiem! Dziękuję bardzo!