Pochodna z arcsin Matador_Puchov: Witam. mam nastepujący problem:, obliczyć 1 i 2 pochodną wyrażenia: arcsin (1−x²/1+x²)

jo: Wyszło mi tyle:

	2√2
f'(x) = −
	1+x2

	4√2x
f''(x) =
	(1+x2)2

Jeżeli masz odpowiedzi to napisz czy takie same bo się spieszyłam i mogłam się pomylić...

Sabin: To jakaś masakra jest, jeśli komuś chce się to sprawdzić, to proszę bardzo...

	1−x2		1+x2
Uwaga:		oznaczę w pewnym momencie jako A, zaś		jako B − całe
	1+x2		1+x2

wyrażenia nie chcą mi wejść pod pierwiastek...

	1−x2
f(x) = arcsin
	1+x2

	1		−2x(1+x2) − 2x(1−x2)
f'(x) =		*		=
	√1−A2		(1+x2)2

	−2x(1+x2+1−x2)
=		= ...
	√B2 − A2(1+x2)2

Teraz pod SAMYM pierwiastkiem dzieje się tak:

(1+x2)2		(1−x2)2		(1+x2)2 − (1−x2)2
	−		=		=
(1+x2)2		(1+x2)2		(1+x2)2

	(1+x2+1−x2)(1+x2−1+x2)
w liczniku wzór na różnicę kwadratów =		=
	(1+x2)2

	4x2
	(1+x2)2

	2|x|
Pierwiastek z tego wyrażenia to		, czyli w mianowniku "głównego ułamka"
	1+x2

mamy:

2|x|
	(1+x2)2 = 2|x|(1+x2)
1+x2

Stąd cały ułamek, czyli szukana pierwsza pochodna:

−4x
	co daje:
2|x|(1+x2)

−2
	dla x > 0
1+x2

2
	dla x < 0
1+x2

... i absolutnie nie mam pojęcia czy to dobrze Druga pochodna z tego to już pójdzie prosto. Pozdrawiam!

AS:

	1 − x2		1
Przyjmując		= A mamy f'(x) =		*A'
	1 + x2		√1 − A2

	(1 − x2)2		1 + 2*x2 + x4 − 1 + 2*x2 − x4
1 − A2 = 1 − (		) =
	(1 + x2)2		(1 + x2)2

=

4*x2
(1 + x2)2

	2*x
√1 − A2 =
	1 + x2

	−2*x*(1 + x2) − (1 − x2)*2*x		−4*x
A' =		=
	(1 + x2)2		(1 + x2)2

	1 + x2		−4*x
f'(x) =		*
	2*x		(1 + x2)2

	−2*x
f'(x) =
	1 + x2