pierwiastki wielomianu studenka: Wyznacz z dokładnością do 1/2 pierwiastki wielomianu x⁴−3x³+x²−4=0

Jack: dla x = − 1 1 + 3 + 1 − 4 = 1 dla x = 0 0 − 0 + 0 − 4 = − 4 zatem w przedziale (−1;0) na pewno jest miejsce zerowe, idac dalej

	1
dla x = −
	2

	1		1		1
(		+ 3*		+		− 4) ≈ − 3,3
	16		8		4

	1
zatem w przedziale (−1;−		) mamy miejsce zerowe.
	2

no i stad mamy dokladnosc 1/2

5-latek: Jack jest tylko jeden pierwiastek tego wielomianu?

Jack: sa 2

jc: 5−latku, są dwa pierwiastki. Jak jest jeden, to musi być co najmniej dwa. Faktycznie jest jeszcze drugi pomiędzy 2.5 a 3.

studenka: a jak mam je znaleźć ?

Jack: dla x = 2 otrzymujemy 16 − 24 + 4 − 4 = − 8 dla x = 3 otrzymujemy 5. zatem kolejne miejsce zerowe jest w przedziale (2;3)

	5
sprawdzmy dla 2,5 czyli
	2

wtedy otrzymujemy −5,5 zatem mamy miejsce zerowe w przedziale (2,5 ; 3) i to tez jest dokladnosc 1/2

5-latek: Dobry wieczor jc Chyba z ta geometria sie zalamie

studenka: czyli na samym początku muszę po prostu popodstawiać parę liczb pod 1, szukać gdzie zmieniają znak z plusa na minus i później bawić się w szukanie mniejszych przedziałów, tak jak tu z dokładnością do 1/2 ? dziękuję za pomoc.

Jack: ja bym narysowal w przyblizeniu wykres a potem jak widze gdzie mniej wiecej jest miejsce zerowe to odczytal i zmniejszal przedzial az do 1/2 przy czym to bardziej sposob licealny...

jc: Jack, teraz każdy ma komputer. Pstryk i masz wykres.

'Leszek: f(x) = x⁴− 3x³ + x² − 4 f ' (x) = 4x³ − 9x² + 2x f ' (x) =0 ⇔ x(4x² − 9x − 4) = 0 , Δ >0 Czyli istnieja trzy punkty lokalnego ekstremum i poniewaz lim f(x) = ∞ dla x→ ∞ oraz dla x→− ∞ to funkcja ma cztery pierwiastki

Adamm: żeby powiedzieć ile ma pierwiastków to najpierw trzeba te ekstrema sprawdzić

'Leszek: Sorry,blad w druku ,oczywiscie w nawiasie powinno byc (4x² − 9x + 2), Adamm ,masz racje nalezy wyznaczyc te punkty ekstremum,ala to niech zrobi te kto pisal zadanie . Metoda obliczania ( bez komputera ,bo nie mozna go miec na sprawdzianach ) polega tak jak to pokazali Panowie na wybraniu pewnego przedzialu x⊂< a , b > tak aby np ,f(a) <0 i f(b) >0 ,

Mariusz: x⁴−3x³+x²−4=0 (x⁴−3x³)−(−x²+4)=0

	9		5
(x4−3x3+		x2)−(		x2+4)=0
	4		4

	3		5
(x2−		x)2−(		x2+4)=0
	2		4

	3		y		5		3		y2
(x2−		x+		)2−((y+		)x2−		yx+		+4)=0
	2		2		4		2		4

Δ=0

	5		9
(y2+16)(y+		)−		y2=0
	4		4

	5		9
y3+		y2+16y+20−		y2=0
	4		4

y³−y²+16y+20=0

	1
y=w+
	3

	1		1		2		1		1
(w3+w2+		w+		)−(w2+		w+		)+16(w+		)+20=0
	3		27		3		9		3

	47		682
w3+		w+		=0
	3		27

w=u+v

	47		682
(u+v)3+		(u+v)+		=0
	3		27

	47		682
u3+3u2v+3uv2+v3+		(u+v)+		=0
	3		27

	682		47
u3+v3+		+3(u+v)(uv+		)=0
	27		9

	682
u3+v3=−
	27

	47
uv=−
	9

	682
u3+v3=−
	27

	103823
u3v3=−
	729

	341		103823
t2+2		t−		=0
	27		729

	341		221472
(t+		)2−		=0
	27		729

	341−√220104		343+√220104
(t+		)(t+		)=0
	27		27

	1
y=		(3√−341+√220104+3√−341−√220104+1)
	3

	3		y		5		3		y2
(x2−		x+		)2−((y+		)x2−		yx+		+4)=0
	2		2		4		2		4

	3		y		5		3y
(x2−		x+		)2−(y+		)(x−		)2=0
	2		2		4		4y+5