Dla jakich wartości n∊N równanie: x^(n+1) + 64 = x^n + 64x ma trzy pierwiastki c Julka: Dla jakich wartości n∊N równanie: x⁽n+1) + 64 = xⁿ + 64x ma trzy pierwiastki całkowite? Wyliczyłam, że dla n=2 , 3 i 6, ale czy to wszytskie mozliwosci?

Adamm: xⁿ⁺¹−xⁿ−64x+64=0 xⁿ(x−1)−64(x−1)=0 (x−1)(xⁿ−64)=0 x=1 lub xⁿ=64 czyli dla n parzystego różnego od 0

Adamm: a nie, całkowite miały być, dostosuj sobie to co już powiedziałem

Julka: w takim razie czy będą pasowały jeszcze jakieś liczby oprócz 2,3 i 6?

Adamm: 3 nie pasuje, od tego zacznijmy 64=2⁶ dla xⁿ gdzie n jest parzyste różne od zera mamy x=ⁿ√2⁶ lub x=−ⁿ√2⁶ czyli n musi dzielić 6, z tąd, n=2 lub n=6

Julka: a czy nie będzie tak: x⁴−x³−64x+64=0 x³(x−1) − 64(x−1) = 0 (x−1)(x³ − 64) = 0 (x−1)(√x³ − 8)(√x³ + 8) = 0 z tego: x=10 x⁽3/2) (x do potęgi 3/2) = 8, więc x³=8², czyli x=4 (analogicznie w trzecim przypadku) ? Czy może popełniłam gdzieś błąd?

Adamm: pokaż mi przypadek gdy √x³+8=0, proszę, może się czegoś nauczę

Adamm: ale już na starcie, (√x³−8)(√x³+8) ⇒ x³−64=0 ale nie odwrotnie

Adamm: tam przy iloczynie ma być =0

Adamm: x³−64=0 jedynym rozwiązaniem jest x=4, innego nie ma

Julka: rozumiem, dziękuję bardzo za cierpliwość