Zbieżność ciągu xxx: Korzystając z tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym wykaż zbieżność ciągu a_n= ¹_n+1+¹_n+2+...+¹_n+n. Zaczynam do monotoniczności: a_n+1−a_n=¹_n+2+...+¹_2n+¹_2n+1+¹_2n+2−(¹_n+1+¹_n+2+...+¹_n+n)= =¹_2n+1+¹_2n+2−¹_n+1=¹_2n+1+¹_2(n+1)−²_2(n+1)= ¹_2n+1−¹_2n+2>0(bo 2n+1<2n+2⇒¹_2n+1>¹_2n+2) ⋀_n∊N a_n+1>a_n − ciąg jest rosnący Problem zaczyna się przy pokazaniu ograniczoności tego ciągu. Ograniczeniem dolnym jest a₁, ponieważ ciąg jest rosnący ⋁_m=¹2M=?⋀_n∊N m=a₁=¹₂≤¹_n+1+¹_n+2+...+¹_n+n<... ale,nie wiem jak pokazać, że ten ciąg jest ograniczony z góry

Adamm:

	1		1		1		n
an≤		+		+...+		=		<1
	n+1		n+1		n+1		n+1

g:

	1		1		1
an ≤		+		+		+... (n razy)
	n		n		n

= 1

xxx: Dziękuje

jc: A czy wiesz ile wynosi granica?

xxx: Zapewne 1

jc: Pudło

xxx: Czyli jak oblicza się granicę takiego ciągu, czy nie korzysta się przypadkiem z tw. o trzech ciągach?

jc: Granica = ln 2

xxx: A skąd się to bierze?

Jack: a to nie bylo czasem z rozwinieciem w maclaurina ?

jc:

1		1		1
	< ∫kk+1		dx = ln (k+1) − ln k <
k+1		x		k

Dodając otrzymujemy (po niewielkich przekształceniach)

	1
ln 2 − ln (1+		) < an < ln 2
	2n+1

xxx: Nie miałam jsc takiego zastosowania całek, ale po stokroć dzięki, zgłębię sobie ten temat

jc: Możesz z tw. o wartości średniej. ln (k+1) − ln k = 1/p dla pewnego p, k < p < k+1. Wtedy 1/(k+1) < 1/p < 1/k. To samo bez całek.