Rozwiąż równanie Mariusz: x⁴y''(x)+(4x³+x²)y'(x)+(2x²+x−1)y(x)=−x Ciekawy jestem waszych pomysłów

Benny: Wolfram pokazuję wynik w postaci funkcji nieelementarnych.

Mariusz: Jak byś liczył ? Funkcje nieelementarne możesz zostawić w postaci całek Ja mam pewien pomysł ale ciekaw jestem waszych pomysłów

Benny: Na etapie przy którym jestem teraz to przy takim równaniu pewnie proste podstawienie y=x^m

Mariusz: Ja mam takie pomysły 1. Równanie jednorodne sprowadzić do równania Riccatiego , znaleźć dwie niezależne całki szczególne i uzmiennić stałe 2. Zamienić zmienną niezależną oraz zależną tak aby otrzymać równanie liniowe o stałych współczynnikach (podstawieniami powinieneś doprowadzić te równanie do postaci

d2u		du
	−		−u)
dt2		dt

Gdyby ci się jakoś udało zgadnąć całkę szczególną to mógłbyś obniżyć rząd równania

jc: Mariusz, jakie jest źródło równania?

Mariusz: Funkcja tworząca pewnego równania rekurencyjnego

jc: Możesz napisać rekurencję?

Mariusz: c_n=nc_n−1+(n²−n)c_n−2 c₀=0 c₁=1 Równanie różniczkowe jest konsekwencją wyboru zwykłej funkcji tworzącej a nie tej wykładniczej

jc: c_n = n! F_n

Mariusz: Wiem ale jak to otrzymałeś

jc: Podzieliłem przez n!. Na wszelki wypadek przyjrzałem się początkowym wyrazom. Miałeś na myśli exponencjalną funkcję tworzącą?

Mariusz: Tak ta funkcja tworząca byłaby wygodniejsza Aby obliczyć współczynniki można policzyć n. pochodną wykorzystując rozkład na sumę ułamków prostych albo rozłożyć na sumę takich ułamków aby móc skorzystać z sumy szeregów geometrycznych

Mariusz: ... ale skoro ciąg Fibonacciego jest w wyniku to pewnie dałoby się sprowadzić to równanie do równania o stałych współczynnikach

Mariusz: Do równania Riccatiego można sprowadzić dwoma podstawieniami y(x)=u(x)v(x) aby usunąć wyraz z y'(x) u(x)=e^∫w(x)dx aby sprowadzić równanie do równania Riccatiego Kolejność podstawień można zamienić , mamy wtedy y(x)=e^∫w(x)dx aby sprowadzić równanie do równania Riccatiego w(x)=u(x)+v(x) aby usunąć wyraz z w(x)

jc: Mariusz, może jakaś odpowiednia funkcja istnieje, ale raczej nie rozwija się w szereg potęgowy wokół zera. ∑n! F_n x² jest rozbieżny dla każdego x≠0.

jc: oczywiście mało być: ∑n! F_n xⁿ

Mariusz: Jak to równanie różniczkowe rozwiązywałem w Maple to otrzymałem

	1−√5		1+√5
wynik z funkcjami takimi jak Ei(1,		) oraz Ei(1,		)
	2x		2x

Wprawdzie nie rozwijał tej funkcji w szereg ale liczył granice z kolejnych pochodnych Te funkcje nieelementarne pojawiły się dopiero podczas uzmienniania stałych Jest rozbieżny a jak byś to wykazał Ja miałem tylko kryteria bazujące na porównawczym

jc: Potrafisz powtórzyć rachunek dla ∑n! xⁿ? To nic, że szereg nie jest zbieżny. Ciekawe, co wyjedzie?

Mariusz: Porównujemy z szeregiem geometrycznym więc

	an+1
limn→∞		∊ (−1,1)
	an

Jeśli chodzi o funkcję tworzącą to podczas uzmienniania stałej występuje całka

	e−t
∫		dt
	t

	1
Maple tę funkcję nazywa Ei(−t) przy t=−
	x

	1		1
A(x)=		e−1/xEi(		)
	x		x

Jeżeli chodzi o cały rachunek to przez ten brak texa będzie nieczytelny (brak indeksów sumowania)