macierz gosia: wyznacz rząd macierzy 1 0 4 A=1 2 1 1 3 1 wszystkie liczby do²

Jack: skoro wszystkie liczby do kwadratu , to to tak wyglada?

gosia: Wgl nie ogarniam macierzy , ale na proste myslenie to tak myslałam też.

gosia: rzad macierzy 1*4*1 + 0*1*1+1*9*16−16*4*1+0*1*1+1*9*1= 4+0+144−64+0+9=148−73=75

gosia: Nie wiem tylko czy to poprawnie?

'Leszek: Rzad macierzy to maksymalna ilosc liniowo niezaleznych wierszy lub kolumn. Rzad mozna obliczy za pomoca minorow czyli podwyznacznikow, czyli oblicz wyznacznik tej macierzy ,jezeli bedzie≠0 ,to rzad wynosi 3, jezeli bedzie rowny 0 , to skreslasz dowolny wiersz i dowolna kolumne to bedzie wlasnie minor i tu widac ,ze jest ≠0.

gosia: a wyznacznik liczymy jak ?

'Leszek: Tak jak to zrobilas dobrze o godz 21.14 , czli rzad tej macierzy wynosi 3

Janek191: Powinno być det = 1*4*1 + 0*1*1 + 1*9*16 − 16*4*1 − 0*1*1 − 1*9*1 = 144 − 73 = 71

gosia: ok. . A jak się rozwiazuje równanie macierzowe ? np | 4 −1| | −2 3| x | 2 −2| = | −3 6| ?

jc: Rząd macierzy = wymiar przestrzeni rozpiętej przez kolumny macierzy Kolejne macierze mają ten sam rząd. 1 0 16 1 4 1 1 9 1 1 0 15 1 4 0 1 9 0 1 0 1 1 4 0 1 9 0 0 0 1 1 4 0 1 9 0 0 0 1 1 0 0 1 5 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 rząd = 3

Jack: X * A = B X = B * A⁻¹ odwroc macierz [4 − 1] [2 − 2]

gosia: a czemu tam dalej masz same "−" ?

gosia: a jak sie odwraca ?

Jack: mozesz to zrobic na kilka sposobow 1. metoda przeksztalcen elementarnych 2. metoda dopelnien algebraicznych ktore mialas na cwiczeniach? za pewne to pierwsze... zatem jak masz macierz [4 −1] [2 −2] to dopisujemy do niej macierz jednostkowa [4 −1|1 0] [2 −2|0 1] i przeksztalcamy tak dlugo az po lewej stronie znaku | uzyskamy macierz jednostkowa, a po prawej jakas inna macierz.

gosia: Jack , mam pytanie , bo wyżej 21:29 Janek napisał coś, i zastanawiam się dlaczego napisał "−" od połowy do końca ?

Jack: na przejsciu zielonym dodajemy, na rozowym odejmujemy zatem najpierw zielone 1*4*1 + 1 * 9 * 16 + 1 * 0 * 1 teraz rozowe je odejmujemy zatem mozna dac minus przed nawias i w nawiasie bedzie wtedy plus − (16*4*1 + 1*9*1 + 1*0*1) wyznacznik to 1*4*1 + 1 * 9 * 16 + 1 * 0 * 1 − (16*4*1 + 1*9*1 + 1*0*1) zatem po opuszczeniu nawiasu 1*4*1 + 1 * 9 * 16 + 1 * 0 * 1 − 16*4*1 − 1*9*1 − 1*0*1

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82a_Sarrusa

gosia: Jack, a ta druga metoda?

Jack: post 21:56 to wyznacznik macierzy 3x3 nie ma prostszej a te 2 metody to mowilem odnosnie macierzy odwrotnej. (21:49)

gosia: Tak , zrozumiałam , że mowa do macierzy odwrotnej.

gosia: Próbuje ją odwrocić. https://www.youtube.com/watch?v=qxRxihK-dNc a czy takie coś jest poprawne ? koło minuty 8

gosia: Ale chyba nie bardzo wiem nadal jak zastosować te dwie metody przy odwroceniu...

Jack: to jest metoda dopelnien algebraicznych, ktora sie oplaca ale maxymalnie do macierzy 3x3, wiekszych juz nie. polega ona na tym aby najpierw : 1) policzyc wyznacznik macierzy ktora chcemy obrocic 2) zbudowac macierz dopelnien algebraicznych wzor jest taki

	1
A−1 =		* (AD)T
	|A|

gdzie |A| to wyznacznik A^D to macierz dopeplnien, a T oznacza ze jeszcze transponowana (zamiana miejscami kolum z wierszai) zatem zacznijmy, mamy macierz [4 −1] [2 −2] wyznacznik tej macierzy to 4*(−2) − (−1)*2 = −8 + 2 = − 6 teraz budujemy macierz dopelnien, o co chodzi ? patrzymy najpierw na liczbe "4" czyli lewy gorny rog macierzy. robimy "wykreslenie" poziome i pionowe tam gdzie jest czworka i zostaje nam (−2) (patrz rysunek) i my patrzymy na wyznacznik z (−2), wyznacznik z −2 mozna zapisac jako |−2| teraz dla −1 wykreslamy i zostaje nam 2, a patrzymy na wyznacznik czyli |2| potem dla 2 mamy |−1| i dla |−2| mamy 4 budujemy macierz [|−2| |2|] [|1| |4|] teraz zasada jest taka ze na glownej przekatnej dajemy plusy, a wszedzie indziej dopisuje minusy czyli mam [|−2| −|2|] [−|1| |4|] wyznacznik z liczby = ta liczba, zatem wyznacznik |−2| = − 2 itd, zatem otrzymuje macierz [−2 −2] [−1 4] teraz ja transponujemy [−2 − 1] [−2 4] no i macierz odwrotna to A⁻¹ = [−2 −1]

	1
−		* [−2 4]
	6

Jack: lepiej to wymnozyc te −1/6 jak sie mnozy macierz przez liczbe ? otoz mnozymy kazdy element macierzy przez te liczbe. zatem mielismy −1/6 razy macierz [−2 −1] [−2 4] po wymnozeniu mamu

	1		1
[		−		]
	3		6

	1		2
[		−		]
	3		3

i teraz zeby rozwiazac tamto rownanie to musisz ta macierz pomnozyc przez macierz B a dokladniej macierz B razy ta (bo kolejnosc mnozenia w macierzach ma znaczenie !)

gosia: dziękuję, biorę się za przekalkulowanie tego co napisałeś

gosia: https://www.youtube.com/watch?v=MDelKTRpgbo czy to jest poprawne mnożenie macierzy ?

gosia: ok zmieniając liczby inny przyklad ale o to samo chodzi:(czy dobrze zrozumiałam) [3 −2] [−1 2] x [5 −4] = [−5 6] wyznacznik to: 3*(−4)−(−2*5)= −12−(−10)= −12+10= −2 budujemy macierz dopełnień: [ |−4| |5| ] [ |−2| |3| ] czyli macierz nasza to [−4 5 ] [−2 3 ] teraz transportujemy : [−4 −2] [ 5 3].

	1
A−1 = −		* [−4 −2] = [2 1]
	2

	5		3
[ 5 3] [−		−		]
	2		2

gosia: rozwiazując równanie wychodzi: [−1 2] [2 1] =

	5		3
[ −5 6] * [−		−		]
	2		2

[−7 −4] [−25 −14] ?