Granica ciągu Monika: Mam problem z dwiema granicami: a) an= ( 1 − 1/2²) ( 1 − 1/3²) .... ( 1 − 1/n²) zaczęła to robić z sumy na ciąg geometryczny, ale nie wychodzi wynik taki, jak powinien, czyli 1/2 b) an = 1/(1*2) + 1/(2*3) + .... + 1/(n−1)n to za to zrobiłam po prost z sumy na ciag arytmetyczny, ale również wynik nie ma prawa wyjść taki, jak w odpowiedziach, czyli 1 Czy źle zabrałam się za te przykłady?

Adamm:

1		1		1
	=		−
(n−1)n		n−1		n

Adamm:

	1
b) an = 1−
	n

Adamm:

	1*3		(n−1)(n+1)
a) an=(		)*...*(		) =
	22		n2

	2*3*...*(n−1)(n+1)		n+1
=		=
	22*3*...*n		2n

Monika: nie rozumiem skąd wzięła sie ta część w drugiej linijce z przykładu a

Adamm:

	1		n2−1		(n−1)(n+1)
1−		=		=
	n2		n2		n2

w drugim opuściłem nawiasy, wszystko wymnożyłem i pozbyłem się wspólnych składników

'Leszek: a) To nie jest ciag geometryczny, iloczyny nalezy rozpisac

	22−1		32−1
(1−1/22)*(1−1/3{2}) .......(1−1/n2) =		*		.....
	22		32

	n2−1		n + 1
*		=
	n2		2n

ten wynik otrzymasz stosujac wzory skroconego mnozenia i upraszczajac z mianownikiem rozpisz to starannie i wyjdzie prawidlowo . Czyli granica lim a_n = 1/2 b) To nie jest ciag arytmetyczny nalezy rozlozyc podane ulamki 1/1*2 = 1/1 − 1/2 1/2*3 = 1/2 − 1/3 1/(n−1)*n = 1/(n−1) − 1/n Jak to wszystko dadasz to zredukuja sie niektore czlony i ostatacznie otrzymasz sume

	n−1
1/1 − 1/n =
	n

Czyli granica ciagu lim a_n = 1

Monika: rozumiem w przykładzie a to rozpisanie, ale niestety nadal nie potrafie zrozumieć, skąd wzięło się to n+1/2n

Monika: wiem, jak już rozpisać obydwa przykłady, ale nie mam pojęcia, skąd się wzięła żadna z tych otrzymanych sum, jak ja otrzymać?

Adamm: jak? nie da się powiedzieć tak po prostu jak, to są zwykłe działania wykonane skończoną ilość razy

Monika: no to nie mam niestety pojęcia, jak to zrobić

'Leszek: a) w liczniku wystepuja czlony (2−1)*(3−1)*(4−1)*...(n−1) ktore upraszczaja sie z liczbami w mianowniku 1*2*3*4*...(n−1) Ale w liczniku zostaja czlony (2+1)*(3+1)*(4+1)*....(n+1) Zas w mianowniku zostalo 2*3*4*5* ....n Zatem po uproszczeniu zostaje w liczniku (n+1). zas w mianowniku jedna 2 i n PS.na kartce papieru takie rozpisywanie robi sie duzo lepiej niz uzywajac tak jak ja komorki .