Twierdzenie Bolzano Patrycja: Sformułować twierdzenie Bolzano i uzasadnić, że równanie 2^x+x=5 ma tylko jedno rozwiązanie.

PW: Panno Patrycjo, sformułuj twierdzenie Bolzano − tak jak było podane na wykładzie − unikniemy w ten sposób zbędnych dyskusji.

Patrycja: Sformułować umiem, bardziej chodzi mi o drugą część. Na wykładzie było to twierdzenie na podanych przedziałach, tutaj ich nie ma, więc zastanawiam się, jak to zrobić.

PW: No i właśnie zaczyna się dyskusja. Przytocz to twierdzenie, rozwiązanie dostaniesz za parę minut.

Patrycja: Niech funkcja f będzie ciągła na przedziale [a,b] i niech f(a)*f(b)<0. Wtedy istnieje (niekoniecznie jeden) punkt C∊(a,b), taki, że f(c)=0. Jeżeli funkcja jest monotoniczna na przedziale [a,b], to punkt C jest tylko jeden.

Adamm: funkcja f(x)=2^x+x−5 jest rosnąca, f(0)=−4, f(2)=1, zatem istnieje tylko jeden taki c∊(−4;1) że 2^x+x−5=0

Adamm: a raczej, że 2^c+c−5=0

jc: Oj, czy trudno napisać, że na f(a) < 0 < f(b) lub odwrotnie, tylko trzeba ten fakt tak brzydko kodować f(a)f(b)<0?

PW: Tak było na wykładzie , dlatego prosiłem o "oryginalną wersję". I sprawdziło się − rozwiązanie nadeszło po 3 minutach!

Patrycja: a dlaczego akurat podstawiamy 0 i 2?

Adamm: Patrycja, to jest zadanie na zgadywanie dla jakich wartości mamy wartość ujemną, a dla jakich dodatnią

Adamm: czy tam, dla jakich argumentów mamy wartości jakich znaków