Obliczyć granicę korzystając z twierdzenia o 3 ciągach. patrycja: Dzień dobry, mam za zadanie obliczyć granicę korzystając z twierdzenia o 3 ciągach.

	1
Mam wyjściowy ciąg o wzorze: n√1/n + 2/n2 + 3/n3 (pierwiastek n−tego stopnia z		+
	n

	2		3
		+		).
	n2		n3

Muszę z niego obliczyć granicę lim n→∞.

	3
I teraz wymyśliłam sobie tak:		na pewno będzie dążył do zera, więc nie mogę po prostu
	n3

usunąć tego składnika, tylko wstawiam tam liczby, które odpowiednio będą większe i na pewno mniejsze niż 0, czyli 1 i −1. I proponuję ciągi, mniejszy: ⁿ√1/n + 2/n² −1 i większy ⁿ√1/n + 2/n² + 1. Czyli wychodzi mi, że: ⁿ√1/n + 2/n² −1 ≤ ⁿ√1/n + 2/n² + 3/n³ ≤ ⁿ√1/n + 2/n² + 1. Wydaje mi się, że do tego momentu wszystko jest w porządku. Ale teraz, jak policzyć granice lim n→∞ z tych zaproponowanych ciągów? (ten mniejszy z −1 wydaje mi się szczególnie trudny, ale oba prosiłabym o policzenie, bo podejrzewam, że totalnie źle je liczę.) Dziękuję za pomoc i pozdrawiam, Patrycja

Adamm:

	3		3
n√		≤an≤n√
	n3		n

	3		3
lim n√		= lim n√		= 1
	n		n3

na mocy tw. o 3 ciągach lim a_n = 1

Adamm: zaznaczam że lim ⁿ√n = 1

patrycja:

	3		3		1		2		3
Ale jak mają się n√		i n√		do n√(		+		+		)
	n3		n		n		n2		n3

patrycja: ?

patrycja:

kacper: up

Janek191: b_n = ⁿ√ ¹_n + ²_n² + ³_n³

	1		2		3
Dla n > 1 jest		≥		≥
	n		n2		n3

Niech a_n = ⁿ√ ¹_n c_n = ⁿ√ 3*¹_n = ⁿ√³_n Mamy a_n ≤ b_n ≤ c_n oraz

	1		1
lim an = lim		=		= 1
	n√n		1

n→∞ n→∞ i

	n√3		1
lim cn = lim n√ 3n = lim		=		= 1
	n√n		1

n→∞ n→∞ n→∞ więc na mocy tw. o trzech ciągach lim b_n = 1 n→∞