Liczby, dowodzenie helpMe: Udowodnij, że √2+√3 jest niewymierna

PW: Gdyby √2 + √3 = w ∊ W, wówczas √3 = w − √2 i po podniesieniu do kwadratu 3 = w² − 2w√2 + 2, skąd

	w2 − 1
√2 =		.
	2w

Prawa strona ostatniej równości jest wymierna, co oznaczałoby że √2 jest liczbą wymierną, a to nie jest prawdą.

'Leszek: Ale rowniez nalezaloby udowodnic , ze liczba √2 tez jest niewynierna ,bo przeciez nalezalo udowodnic , ze liczba √2 + √3 jako cala liczba jest niewymierna ,a przedstawiony dowod dotyczy tylko jednej czesci liczby.

PW: 'Leszek, nie chrzań. Rozwiązując zadanie o trójkącie prostokątnym będziesz dowodził twierdzenie Pitagorasa?

'Leszek: Polecenie w zadaniu rozwiaz a udowodnij jakis wzor to sa diametralnie rozne pojecia ! W tym zadaniu jest napisane aby udowodnic ,ze liczba √2 + √3 jest niewymierna !

PW: Nie dowodzi się faktów powszechnie znanych. Każdy, kto słyszał o liczbach niewymiernych, wie o niewymierności liczby √2. Jest to pierwszy przykład pokazywany dzieciom razem z dowodem. Uczeń ma prawo z tego faktu korzystać bez dowodu, tak jak korzysta z twierdzenia Pitagorasa. Możesz jednak nie wierzyć, że np. CKE zaakceptuje taki dowód i pokazać swój.

Saizou : 'Leszek jak tak Ci to przeszkadza to dodaj dowód tego że √2 jest niewymierne. Ale równie dobrze będziesz musiał dowodzić prawdziwości wzorów np. na wyróżnik trójmianu kwadratu

'Leszek: Kiedys wsrod matematykow powszechnie byl znany fakt ze nie istnieje liczba √−1, ale na szczescie znalazl sie Taki ktory powiedzial ,ze taka liczba istnieje √−1 = i, dlatego matematyka i fizyka ma swietne narzedzie do rozwiazywania licznych problemow .

Jack: nie chce sie czepiac, ale mnie uczono √−1 = ± i

'Leszek: Dla P.Saizou : Wyraznie w poleceniu jest napisane udowodnij. Jezeli w poleceniu bedzie napisane udowodnij prawdziwosc wzoru na Δ w trojmianie kwadratowym to trzeba to zrobic ,a nie korzystac z gotowego wzoru. Polecenia zadan z matematyki i fizyki sa precyzyjne to nauki scisle !

Janek191: W poleceniu jest napisane − udowodnij,że liczba √2 + √3 jest niewymierna. Nie pisze, by udowadniać niewymiernośc liczb: √2 i √3

ola: a jak udowodnic ze √2−1 jest niewymierne . ja wiem ze jesli od niewymiernej odejme 1 to dalej bedzie niewymierna ale jak to udowodnic?

PW: Gdyby √2−1=w∊W, to √2=w+1∊W (bo suma liczb wymiernych jest wymierna). Ponieważ zdanie "√2 jest liczba wymierną" jest fałszywe, przypuszczenie że (√2−1) jest wymierna okazało się fałszywe. To kończy dowód. Dowód był przeprowadzony metodą "nie wprost". Pokazaliśmy, że z zaprzeczenia tezy wynika zdanie fałszywe, a więc to zaprzeczenie też było fałszywe, zatem teza jest zdaniem prawdziwym.

a7: Leszek może więć tak √2+√3=w podnosimy do kwadratu 2+2√6+3=w p{6)=(w−5)/2 prawa strona jest wymierna a lewa nie (jak pisał już PW) więc całość (wyjściowa suma) jest niewymierna (?)

a7: oczywiście 2+2√6+3=w² √6=(w²−5)/2

%: Wystarczy pokazać niewymierność √6 (patrz wyżej). Hipoteza:

	p
√6=		, p,q względnie pierwsze, całkowite
	q

	p2
6=
	q2

6q²=p² więc p² jest parzyste −> p jest parzyste p=2*k, k całkowite 2q²=p²−4q² 2q²=4k²−4q² q²=2k²−2q² q² jest parzyste −>q jest parzyste, a miało być względnie pierwsze z p sprzeczność kończy dowód Jak ktoś ma wolną chwilę i chęć, to proszę o potwierdzenie poprawności.

PW: Ale po co ten trud? Czy pierwsza odpowiedź polegająca na trzech łatwych przekształceniach jest wadliwa?

%: @PW Nie chodzi o to, by wszystko zawsze udowadniać, ale dobrze jest umieć takie rzeczy robić (nie twierdzę oczywiście, że Ty nie umiesz, ale już np. pytający może tego nie umieć) Poza tym nie jest oczywiste czemu zakładać tylko znajomość niewymierności √2, a nie od razu też √3, co jak się zdaje czyni problem trywialnym

PW: Mylisz się, z informacji, że dwie liczby są niewymierne, wcale nie wynika, że ich suma jest niewymierna. Problem nie jest trywialny.

%: @PW Racja, mój błąd.