zespolone kola: Niech z zespolona taka że |1+z³| ≤ 1.Pokaż że |1+z| ≤ 2.

jc: To trudne zadanie pojawiło się na forum pół roku temu.

kola: A było rozwiązane? A tu nie bedzie coś z 1+z³=(1+z) (1−z+z²)?

jc: Wydaje mi się,  że ten sposób do niczego nie prowadził. Chyba trzeba było po prostu znaleźć ekstremum odpowiedniej funkcji. Być może dobrze było przejść do zmiennych biegunowych. Na pewno pomagał rysunek (koniczynka w okręgu). Więcej nie pamiętam.

jc: Rozwiązanie. Oznaczmy literą u sprzężenie liczby z. Niech p = zu = |z|², q= z+u = podwojona część rzeczywista. |1+z|² = (1+z)(1+u)= 1 +zu + (z+u) = 1 + p + q |1+z³|²=(1+z³)(1+u³) = 1 + z³u³ + z³ + u³ = 1+(zu)³ + (z+u)³ − 3zu(z+u) = 1 + p³ +q³ −3pq Mamy pokazać, że jeśli 1 + p³ +q³ −3pq ≤ 1, to 1 + p + q ≤ 4 lub inaczej: jeśli p³+q³ ≤ 3pq, to p+q ≤ 3. Pokażemy implikację równoważną: jeśli p+q > 3, to p³+q³ > 3pq. Załóżmy więc, że p+q>3. 0 ≤ (p−q)² p²−pq+q² ≥ pq p³+q³ = (p²−pq+q²)(p+q) ≥ pq(p+q) Jeśli pq > 0, to pq(p+q) > 3pq i p³+q³ > 3pq. A co będzie w przypadku q ≤ 0? W tej chwili nie wiem. Przy okazji. Jeśli w nierównościach zachodzą równości, to p=q=3/2, a z = (9 ± i √15)/4.

jc: Pominięty przypadek. 27 < (p+q)³ = (p³+q³ −3pq) + 3pq(1+p+q) 1+p+q ≥ 0 (bo to jest kwadrat modułu) Zatem, jeśli pq ≤ 0, to drugi składnik jest ujemny bądź jest zerem, ale wtedy pierwszy składnik musi być dodatni, a nawet większy od 27.