Czy konik szachowy startując z punktu (0,0) w układzie współrzędnych, może wskoc Magda: Czy konik szachowy startując z punktu (0,0) w układzie współrzędnych, może wskoczyć na punkt (6,7) w parzystej ilości ruchów? Jeśli tak, podaj kolejne punkty na których stanie konik, jeśli nie − uzasadnij dlaczego.

Kacper: Co to za konkurs?

Magda: to nie konkurs, po prostu zadanie domowe. wydaje mi sie, ze odpowiedz brzmi nie, ale jak zapisac to formalnie?

Kacper: To dlaczego nie?

Magda: no, bo za kazdym razem zmieniamy parzystosc tylko jednej ze wpolrzednych i po kilku probach przeze mnie wykonanych dochodze do tego punktu (6,7) ale po wykonaiu nieparzystej liczby skokow, ale to rozumowanie trzeba zapisac formalnie.

Kacper: Nie zgadzam się ze stwierdzeniem "bo za każdym razem zmieniamy parzystość tylko jednej ze współrzędnych" Mój konik wykonał dwa ruchy: (0,0)→(1,3)→(4,4) i obie współrzędne ma parzyste, a były nieparzyste.

PW: Kacper, skoczyłeś za pierwszym razem o 3 w prawo, a za drugim o 3 w górę.

Saizou : np. można pokusić się o wymyślenie niezmiennika, ale może to być trudne

Kacper: Rzeczywiście mój konik dostał skrzydeł

PW: Albo wypisać wszystkie sumy pokazujące ruchy w prawo, np. 2 + 1 + 2 + 1 = 6 (konik skoczył dwa w prawo, raz w prawo, dwa razy w prawo i raz w prawo). Odpowiadające im ruchy konika w górę przy tych samych posunięciach to w tym przykładzie 1 + 2 + 1 + 2 = 6. Widać, że nie doszliśmy do 7 w górę. W każdym ruchu łączna zmiana współrzędnych wynosi 3, nie dojdziemy więc od (0, 0) do (6, 7) (bo 6+7 = 13 − nie dzieli sie przez 3). To byłby ten niezmiennik, gdybyśmy poruszali się tylko w prawo i w górę (nie cofamy się ani w lewo, ani w dół). Co będzie, gdy dopuścimy ruchy w lewo lub w dół?

PW: No, Magda, jakie mogą być zmiany sumy współrzędnych przy dowolnych ruchach konika?

Magda: Gdy będziemy poruszać się również w lewo lub w dół, to sprawa może wyglądać tak: ruchy w lewo lub prawo (parzysta ich ilość): np. −1, 2, 2, 1,1,1=6 (konik skoczył raz w lewo, 2 razy w prawo, 2 razy w prawo itd.) Konik skaczący w górę lub w doł: 2,−1,1,2,2,2 =8 (konik skoczyl 2 razy w gore, raz w dol, raz w gore, itd.) w tych ruchach suma wynosi albo 1 albo 3. wiec nie dojdziemy do (6,7) dobrze rozumiem?

Magda: albo spojrzmy na to w ten sposob. po kazdym ruchu suma wspolrzednych zmienia swoja parzystosc. zatem po parzystej liczbie ruchow suma jest parzysta, a suma 6+7 jest nieparzysta wiec odpowiedz brzmi nie. czy tak moze byc?

PW: Suma współrzędnych w pojedynczym ruchu może się zmienić o: 3, −3, 1, −1. Wykonujemy parzystą liczbę ruchów, która ma doprowadzić do zmiany sumy współrzędnych o 13. k₁.3 + k₂^.(−3) + k₃^.1+k₄^.(−1) = 13 ∧ k₁+k₂+k₃+k₄ = 2n

	⎧	3k1 − 3k2 + k3 − k4 = 13
	⎩	k1 + k2 + k3 + k4 = 2n

Po dodaniu stronami 4k₁ − 2k₂ + 2k₃ = 2n + 13 Lewa strona jest liczba parzystą, a prawa nieparzystą. Rozwiazań nie ma. Ale Ty mnie nie słuchaj, mam tendencję komplikowania rzeczy łatwych

PW: Aaa... nie widziałem. O 21:32 ładnie to opowiedziałaś.