Rozwiąż nierówność.
XnCC: Nierówność wymierna z wartością bezwzględną.
Wydaje mi się być to straszną pierdołą, ale nie wiem jak rozwiązać:
Pomnożyłem przez kwadrat mianownika:
|x|(x−1)>x(x−1)
2
I co teraz?
20 lis 17:56
lol: Jak zawsze najprościej dwa przypadki, żeby opuścić wartość bezwzględną.
Dla x niedodatniego, a potem dodatniego.
To co ci wyjdzie przecinasz z rozważaną dziedziną i voila.
20 lis 17:59
XnCC: A więc:
1. warunek (x>0).
x(x−1)−x(x−1)2>0
x2−x−x3+2x2−x>0
−x3+3x2−2x>0
x(−x2+3x−2)>0
x1=0
Δ=1
x2=1
x3=−2
2. warunek (x<0).
−x(x−1)−x(x−1)2<0
−x2+x+x3−2x2+x<0
x3−3x2+2x<0
x(x2−3x+2)<0
x4=0
Δ=1
x5=1
x6=2
Dziedzina ∊ R\{1}, więc x∊{2,−2,0}.
Dobrze rozumiem?
20 lis 18:16
XnCC: Nie, chwila! x∊(−2;2)\{1} Bo to nierówność.
20 lis 18:18
XnCC: Zniknął mi minus z licznika w x3. Teraz to już nie wiem jaki powinien być końcowy werdykt.
x∊...
20 lis 18:30
PW: To duża umiejętność, żeby w takim prostym zadaniu dojść do nierówności trzeciego stopnia.
Z uwagi na mianownik dziedziną jest R\{1}.
Sprawdzamy bezpośrednio (w pamięci), że x = 0 nie jest rozwiązaniem. Dla pozostałych x można
podzielić stronami przez |x|>0:
Prawa strona ma wartość 1 dla x > 0 lub wartość −1 dla x < 0. Mamy więc do czynienia z
nierównością
| | 1 | |
(1) |
| > −1 dla x < 0 |
| | x − 1 | |
lub
| | 1 | |
(2) |
| > 1 dla x ∊ (0, 1)∪(1,∞). |
| | x − 1 | |
Rozwiązanie (1): mnożymy stronami przez ujemny mianownik:
1 < −1(x−1) , x < 0
x < 0, x < 0
− rozwiązaniami są wszystkie x z rozpatrywanego zbioru (−
∞, 0).
Rozwiązanie (2): widać, że dla x∊ (0, 1) rozwiązań nie ma (lewa strona ujemna, prawa dodatnia;
dla x ∊ (1,
∞) mnożymy przez dodatni mianownik:
1 > x −1, x∊ (0, 1)
2 > x, x∊ (0, 1)
− rozwiązaniami są wszystkie x∊ (0, 1).
20 lis 19:34
PW: Coś mi się wcisnęło i komputer zastrajkował, nie mogłem poprawić błędu.
Rozwiązanie (2): widać, że dla x∊ (0, 1) rozwiązań nie ma (lewa strona ujemna, prawa dodatnia;
dla x ∊ (1,∞) mnożymy przez dodatni mianownik:
1 > x −1, x∊ (1, ∞)
2 > x, x∊ (1, ∞)
− rozwiązaniami są wszystkie x∊ (1, 2).
Odpowiedź: Rozwiązaniami są x ∊ (−∞,0)∪(1,2)
20 lis 19:45
XnCC: A już miałem nadzieję, że umiem w matematykę... :<
No nic, dziękuję!
20 lis 20:09