zespolone davee: Korzystając ze wzoru de Moivre’a obliczyć: (⁵√2−i ⁵√2)¹5

jc:

	1−i
= (5√2)15 * √2)15 (		)15=
	√2

	1+i
23 * 27 * √2		= 1024 (1+i)
	√2

	1−i
(		)8=1
	√2

1−i		1+i
			= 1
√2		√2

davee: nie potrafie sie połapać w Twoim zapisie. da sie cos jasniej ?

jc: Zgubiłem jeden nawias ... (√2)¹⁵ ... Zapisałem tak: moduł z liczby do potęgi * liczba o module jeden do potęgi. Pod przekształceniami masz dwie równości, które wyjaśniają rachunek. Teraz jest jasno?

davee: niestety nadal ciemno.

PW: Wzór de Moivre'a wymaga postaci trygonometrycznej:

	1		−1
5√2 − 5√2i = 5√2(1 − i) = 5√2.√2(		+		i).
	√2		√2

(1 − i) jest zatem liczbą o argumencie głównym α takim, że

	1		−1
cosα =		i sinα =		,
	√2		√2

czyli

	3π		π		π
α =		+		= 2π −		,
	2		4		4

	π		π
5√2 − 5√2i = (5√2)(√2)(cos(2π −		) + sin(2π −		)i)
	4		4

Jeżeli są kłopoty z zobaczeniem tego na zasadzie rozwiązywania równań trygonometrycznych, wystarczy narysować w układzie współrzędnych liczbę (1, −i) i popatrzeć, pod jakim kątem do dodatniej półosi OX jest półprosta o początku (0, 0) przechodząca przez (0, −1). Mając to liczymy (⁵√2 − ⁵√2i)¹⁵ = (⁵√2)¹⁵(√2)¹⁵(...)¹⁵ tu wzór de Moivre'a, redukcja kąta do zakresu <0, 2π) i odpowiedź gotowa.