Zamiana zmiennych Benny: Jeśli mam obszar |x|+|y|≤1, to po podstawieniu u=x+y, v=x−y jak będzie zmieniał się zakres tych zmiennych, bo nie mogę tego odczytać.

Benny: Dobra rozumiem, że wystarczy to narysować i kopnięty kwadrat nam się normalnie położy?

Jerzy: Kopnięty kwadrat ... to romb

Benny: W tym wypadku to nadal kwadrat

Benny: Możesz mi powiedzieć jak sobie wyobrazić współrzędne sferyczne? Chodzi mi o zakres zmiany kątów. x=rcosφcosθ y=sinφcosθ z=rsinθ

Jerzy: Rzuć okiem na to: https://pl.wikipedia.org/wiki/Uk%C5%82ad_wsp%C3%B3%C5%82rz%C4%99dnych_sferycznych

jc: Jak na globusie, choć technicy i fizycy przyjmują inną umowę niż matematycy i geografowie. Kąt θ liczą od osi. Ty liczysz od równika.

Benny: Ok chyba sobie to wyobraziłem choć nie wiem czy dobrze. Jednym kątem zakreślam koło w poziomie, a drugim półokrąg w pionie. Razem oba kąty zakreślą mi sferę. Jeden kąt ma zmienność 0 do 2π,

	−π		π
a drugi		do		?
	2		2

Jerzy: Dokładnie tak

jc: Fizyk zamieni sinus z kosinusem i oczywiście zmieni zakres kąta.

Benny:

	−π		π
Drugi kąt czy jest od		do		lub od 0 do π zależy od podstawienia, tak?
	2		2

jc: Matematycy + geografowie: x = r cos φ cos θ y = r sin φ cos θ z = r sinθ − π/2 ≤ θ ≤ π/2 Fizycy i technicy: x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ z = r cosθ 0 ≤ θ ≤ π

Benny: Dzięki

Benny: Możesz mi jeszcze powiedzieć w jakiej kolejności całkuje wtedy? ∫∫∫drdφdθ czy nie ma znaczenia?

ułameczek: od "wewnątrz" dr,dφ,dθ

jc: Spójrz na założenia tw. Fubiniego. Czasem kolejność ma znaczenie. Dwie poniższ całki iterowane istnieją i są różne.

	x2−y2
∫∫		dx dy
	(x2+y2)2

	x2−y2
∫∫		dy dx
	(x2+y2)2

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 Dlaczego?

Benny: Tak myślałem, znałem to twierdzenie Obie całki iterowane muszą istnieć oraz musi istnieć całka podwójna. Jak łatwo pokazać, że całka nie istnieje?

jc: Wydaje mi się, że pierwsza całka w obszarze 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 jest nieskończona.

Benny: No, ok, ale przypuśćmy, że obie iterowane istnieją. Jak pokazać, że całka podwójna nie istnieje łatwo?

jc: Tu obie iterowane istnieją. Oblicz. To nie jest trudne. Inna rzecz. Wszystkie 3 całki, to całki niewłaściwe (funkcja podcałkowa jest nieograniczona).

jc: Pascala używałem dawno i krótko. Wskaźników w Pascalu nie użyłem nigdy. Nie znam się na takich rzeczach.

jc: Oj, to było dla Mariusza.

Benny: Czyli jak oblicze ∫∫dxdy i ∫∫dydx i wyjdzie mi coś innego to koniec?

jc: To był przykład z książki. Ilustrował fakt, że całki iterowane mogą istnieć, a całka podwójna nie.

Benny: Na wiki chyba jest ten sam przykład.