Granica Analizka: Oblicz granice przy x−>∞ z a_n Mozna chyba z twierdzenia o trzech ciągach. Odp to 1. a_n=(n−sin 1)/(n²+1) +(n−sin 2)/(n²+2) + ... + (n−sin n)/(n²+n) Wytłumaczył by ktoś ?

Adamm: x→∞ ...

Analizka: n−>∞

Jack: sin1 oznacza sin1^o wtedy sin(pi) = sin(180^o) czy jako radiany czyli sin1, a sin pi to sin(3,14) ?

	n − sin1		n−sin2		n − sinn
an =		+		+ ... +		=
	n2+1		n2+2		n2+n

	n − sin1 + n−sin2 + n−sin3 + ... + n − sinn
=		=
	n2+n

	n*n − sin1 − sin2 − sin3 − ... − sinn
=		=
	n2+n

	n2 − (sin1 + sin2+sin3+...+sin n)
=		=
	n2+n

	n2		sin1+sin2+sin3+...+sinn
=		−
	n2+n		n2+n

	n2		sin1+sin2+sin3+...+sinn
lim (		−		) =
	n2+n		n2+n

	n2		sin1+sin2+sin3+...+sinn
= lim		− lim		= 1−0 = 1
	n2+n		n2+n

Adamm: Jack, tam masz różne mianowniki

Jack: jaaa, zle odczytalem, fakt, moje rozw. do kosza

Analizka: Ale skąd w mianowniku n² +n? Przecież nie mogę tego tak zwinąć bo wtedy przepadają mi 1+2+3+4+5... Dodaję samo n, które jest w ostatnim wyrazie.

Adamm: mogłoby być jako górna granica, ale moim zdaniem w ostatniej linijce drugiej granicy brakuje uzasadnienia

Adamm: czy tam dolna, nie ważne

Analizka: Taaak, własnie te mianowniki nie mogę zwinąć w jakiś mądry sposób

Adamm:

n2−n		n2+n
	≤an≤
n2+n		n2+1

Analizka: Mogę prosić o wyjaśnienie ?

Analizka: Nie rozumie skąd tam −n i +n i gdzie uciekły nam sinusy

jc: k−ty składnik, 1 ≤ k ≤ n

n − sin k		n		sin k
	=		−
n2 + k		n2+k		n2+k

1		n		1
	≤		≤
n+1		n2+k		n

	1		sin k		1
−		≤ −		≤
	n2		n2+k		n2

Po wysumowaniu mamy

n		1		1
	−		≤ an ≤ 1 +
n+1		n		n

trzy granice →1

Adamm:

n−sin1		n−sinn		n−sin1+...+n−sinn		n2+n
	+...+		≤		≤
n2+1		n2+n		n2+1		n2+1

n2−n		n−sin1+...+n−sinn		n−sin1		n−sinn
	≤		≤		+...+
n2+n		n2+n		n2+1		n2+n

Jack: @jc czy jak sie zrobi tak jak napisales 20:20 to bedzie poprawnie? moge sobie zsumowac nierownosci itd?

Adamm: Jack, wiem że pytałeś się jc, ale możesz

Analizka: Już rozumie, dziękuję bardzo