szeregi/kryteria etc Jack: znajdz wzor na sume S_n i zbadaj zbieznosc szeregu. a) ∞

	1
∑
	n(n+1)

n=1

	1		1
b)		sin(		)
	n		n

no to a) ∞

	1		1		1		1		1		1		1		1		1
∑		= ∑ (		−		)=		−		+		−		+...+		−		=
	n(n+1)		n		n+1		1		2		2		3		n		n+1

n=1

	1
= 1 −
	n+1

	1
Sn = 1−		(to wzor na sume)
	n+1

a teraz zbieznosc, no to wystarczy ze policze granice S_n? lim S_n = 1 n−>∞ Odp. Ciag jest zbiezny do 1.

Jack: ref? jutro kolos !

jc: Tak.

Jack: na szybko drugie pytanko

	50
szereg od n=1 do ∞
	2n

	50		1		1		1   1 − ( )n   2
∑		= 50 ∑		= 50 * (		*		) =
	2n		2n		2		1   1−   2

	1
= 50 * (1−(		)n) = Sn
	2

lim S_n = 50 n−>∞ Odp. szereg jest zbiezny (do 50) I jeszcze trzecie pytnako, czy jak jest zeby napisac czy jest zbiezny, to jak napisze jest zbiezny do 50 jest poprawnie czy lepiej nie pisac wartosci do ktorej jest zbiezny

jc: Jak znasz granicę, to możesz napisać: szereg ... jest zbieżny, a jego suma wynosi ...

Jack: Dziękuję

Jack: jeszcze jedno, zbadaj zbieznosc. szereg od 1 do ∞ 1/n sin(1/n) no to robie

1		1		1		−1
	sin(		) ≥		*(−1) =
n		n		n		n

szereg (−1/n) jest rozbiezny (chyba), zatem na mocy kryterium porownawczego

	1		1
szereg		sin(		) jest rozbiezny
	n		n

czy powinienem napisac dlaczego −1/n jest rozbiezny?

Jack: ref?

jc: |sin x| ≤ |x| | (sin 1/n) / n | ≤ 1/n²

	sin 1/n
Wniosek: szereg ∑		jest zbieżny.
	n

Jack: dziekuje jc, jednakze co jesli nie znam tej nierownosci? i czy musze sie konkretnie na nia powolywac?

Jack: i jesli zamiast sinus, bylby cosinus, albo co innego? to jeszcze by dzialalo |cosx| ≤ |x| ?

jc: Nie. Szereg ∑ (cos 1/n) /n jest rozbieżny.

Jack: ok dzieki,jednak, a jak to zrobic? jakie porownanie?

jc: cos 1/n > 1/2 dla n większych od pewnej liczby (możesz ją wyznaczyć). Szereg ∑ 1/(2n) jest rozbieżny.

Jack:

	1
no dla n=1 mamy cos(1) ≈ cos(pi/3) =
	2

dla coraz wiekszych n mamy coraz wieksze wartosci, zatem cos(1/n) > 1/2 dla n ∊ <1;∞)