kombinatoryka poszukujący: Na ile sposobów można n kul rozmieścić w n pude̷lkach tak, żeby dokładnie dwa pude̷lka zostały puste? Za̷łóż, że n≥3 oraz zarówno kule jak i pude̷lka są między sobą rozróżnialne. Czy to rozumowanie jest poprawne? Czy może zna ktoś inny sposób? Dla n≥5:

	n 2
Dwa pudełka, które zostaną puste, możemy wybrać na		sposoby. Teraz mamy dwie możliwości:

a) W dokładnie dwóch pudełkach umieszczamy po dwie kule i w dokładnie (n−4) po jednej. Dwa

	n−2 2		n 2
pudełka wybieramy na		sposoby, do pierwszego wybieramy kule na		sposoby, do

	n−2 2
drugiego na		sposoby, w pozostałych (n−4) pudełkach umieszczamy kule na (n−4)!

sposoby. b) W dokładnie jednym pudełku umieszczamy trzy kule i w dokładnie (n−3) po jednej. Pudełko

	n 3
wybieramy na (n−2) sposoby, trzy kule wybieramy do niego na		sposoby, w pozostałych

(n−3) pudełkach umieszczamy po jednej kuli na (n−3)! sposoby.

PW: Opowiem po swojemu. a) Ze zbioru wszystkich kul wybieramy dwa razy po dwie kule. Można to uczynić na

	n 2   n−2 2   .
	2

sposobów. Wybrane dwójki scalamy ze sobą, każda z nich będzie tworzyła nierozłączny element wkładany do jednego pudełka. Dokładamy 2 jednakowe kule ("białe", różniące się od już rozważanych). W ten sposób otrzymujemy znów n elementów, które wkładamy do n pudełek. Włożenie "białej" kuli będzie oznaczało, że pudełko jest puste − wpadła do niego kula nie brana pod uwagę w opisie zadania. W ten sposób mamy n elementów, w tym 2 nierozróżnialne, wkładamy je do n pudełek na

	n!
	2!

sposobów. Wszystkich możliwości jest

	n 2   n−2 2   .		n!
		.
	2		2!

b) Ze zbioru wszystkich kul wybieramy trzy kule. Można to uczynić na

	n 3

sposobów. Wybraną trójkę scalamy ze sobą, będzie stanowiła nierozłączny element wkładany do jednego z pudełek. Dokładamy 2 białe kule itd.

poszukujący: Dziękuję Wciąż analizuję, ale wygląda na to, że wyszedł mi ten sam wynik

PW: Cieszę się, bo nie zawsze udaje się wymyślić dobry sposób. Jeżeli masz to samo, to jest nas dwóch (wynik być może jest dobry).

Mila: 1) n=3

3 2
	*1=3

2) lub 3 n>3

	n 2		n 2   n−2 2   *		n 3
(**)		*[		+		]*(n−2)!
			2

============================ sprawdzam dla n=4

4 2
	*(24−2)=6*14 (4 kule w dwóch pudełkach ( żadne nie może byc puste) można rozłożyć na

(2⁴−2) sposobów. wg wzoru (**)

4 2		4 2		4−2 2		4 3
	*[		*		*(1/2)+		]*(4−2)!=

6*[6*(1/2)+4]*2=6*7*2=6*14 n=5 Liczba suriekcji: f: {x₁,x₂,..x₅}→{y₁,y₂,y₃} 3⁵−3*2⁵+3=150

5 2
	*150=1500

wg (**)

	5		5−2 2		5 3
10*[		*		}{2}+		]*(5−2)!=
	2

10*[30/2+10]*3!=10*25*6=1500 też się zgadza. Nie jest to oczywiście dowód, ale nie wyklucza rozwiązania.

poszukujący: W tym momencie albo mnie olśniło, albo kompletnie zaćmiło. Możliwych rozmieszczeń, w których co najmniej dwa pudełka pozostaną puste, jest

	n 2
		*nn−2.

Możliwych rozmieszczeń, w których co najmniej trzy pudełka pozostaną puste, jest

	n 3
		*nn−3.

Możliwych rozmieszczeń, w których co dokładnie dwa pudełka pozostaną puste, jest

	n 2		n 3
		*nn−2−		*nn−3.

poszukujący: Aha, tego nie było Zapomnijcie.