Logika i teoria zbiorów Stefan: f: N x N → N (gdzie x− iloczyn kartezjański) f ((n,k)) = |n² − k²| a) Czy f jest na N? b) f ⁻¹ [{0}] c) f [N x {0}] d)f [Nieparzysta x Parzysta] Bardzo proszę o pomoc z zadaniem. z góry dzięki

Stefan: @up

PW: a) Żeby odpowiedzieć na pytanie trzeba rozstrzygnąć, czy dla każdej p∊N istnieją takie n, k∊N, że |n² − k²| = p. Ponieważ nie ma to znaczenia, możemy przyjąć n > k, wtedy warunek przyjmuje postać (n − k)(n+k) = p. Jakieś wątpliwości się nasuwają, trzeba je omówić.

Stefan: Mógłbyś kontynuować tłumaczenie mi tego zadania?

PW: Lewa strona równości (1) (n − k)(n+k) = p jest iloczynem, prawa może być liczbą pierwszą. W takim wypadku musi być (n − k) = 1, czyli n = k + 1; równość przyjmuje postać 1^.(k+1+k) = p 2k + 1 = p, rozwiązanie istnieje:

	p−1
k =		∊ N
	2

(bo p − 1 jest liczbą parzystą, dzieli się przez 2). Tak więc dla liczby pierwszej p jest

	p−1		p−1
f(		+1,		) = p.
	2		2

Wątpliwości co do istnienia rozwiązania równania (1) dla liczby pierwszej p zostały rozstrzygnięte, rozwiązaniem jest para

	p		1		p		1
(n, k) = (		+		,		−		).
	2		2		2		2

A jak wygląda rozwiazanie równania (1), gdy p nie jest liczbą pierwszą, np. p = 121?