zbiór wartosci sylwester:

	2x
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=		Udowodnij że zbiór wartosci funkcji f jest
	x2+1

zawarty w zbiorze <−1;1>

paziówna: pomogę

paziówna: dowód nie−wprost załóżmy, że tak nie jest więc f(x)>1 ∨ f(x)<−1

2x		2x
	> 1 ∨		+ 1 < 0
x2 + 1		x2 + 1

2x		x2 + 1		2x		x2 + 1
	−		> 0 ∨		+		< 0
x2 + 1		x2 + 1		x2 + 1		x2 + 1

−x2 + 2x − 1		x2 + 2x + 1
	> 0 ∨		< 0
x2 + 1		x2 + 1

(x² + 1)(x² − 2x + 1) <0 ∨ (x² + 1)(x² + 2x + 1) < 0 (x² + 1)(x − 1)² < 0 ∨ (x² + 1)(x + 1)² < 0 w obu przypadkach, oba czynniki są zawsze większe(bądź większe równe) od zera. obie nierówności są sprzeczne. założenie jest sprzeczne. więc f(x)∊ <−1, 1>

sylwester: hmm nie rozumiem tego:( mogłby ktos mi to wytlumaczyc

Jack: a czy nie jest do pomyślenia że f(x)∊A⊂<−1,1>?

Jack:

2x		x2+2x+1−x2−1		x2+1−(x2−2x+1)		(x−1)2
	=		=		=1−
x2+1		x2+1		x2+1		x2+1

a)

	(x−1)2
g(x)=		→ gmin(1)=0 (bo g(x)≥0, co widać po kwadratach)→ fmax(1)=1−0=1
	x2+1

b) korzystamy z nieparzystości funkcji f. Wobec faktu że x=1 daję wartość maksymalną, mamy że dla x=−1 uzyskamy minimalną wartość. f(−1)=⁻²₂=−1 → f_min(−1)=−1.

	2(−x)		2x
(że f jest nieparzysta: −f(−x)= −		=		=f(x) )
	(−x)2+1		x2+1