postać wykładnicza Anka: |z|+z²=0 musze to zapisac w postaci wykladniczej po czym w trygonometrycznej jednak wychodzi mi pozniej φ=π ⋀ φ=0 a ma byc i oraz −i

PW: Musisz to zapisać w postaci wykładniczej, czy chcesz rozwiązać równanie?

Adamm: z=0 lub z=|z|(cosφ+isinφ) |z|+|z|²(cos2φ+isin2φ)=0

	1
cos2φ+isin2φ=−
	|z|

sin2φ=0 2φ=π+πk ale cos2φ<0 więc 2φ=π+2kπ φ=π/2+kπ φ=π/2 lub φ=3π/2 dla φ=π/2 oraz dla φ=3π/2 mamy |z|=1 dla pierwszego przypadku z=i, dla drugiego z=−i mamy 3 rozwiązania, 0, i, −i

PW: Zastosujmy sposób elementarny, wymagający tylko wiedzy, że i² = −1. |z| + z² = 0 Prawa strona jest liczbą rzeczywistą, a lewa sumą liczby rzeczywistej |z| oraz liczby z². Oznacza to, że liczba z² też jest liczbą rzeczywistą. Niech z = a+bi, a,b∊R, wtedy z² = a² − b² − 2abi ∊ R ⇔ ab = 0. Wniosek: a = 0 lub b = 0, a więc szukana liczba ma postać z = 0 lub z = bi lub z = a. Sprawdzenie dla 0 potwierdza − liczba 0 jest rozwiązaniem. Sprawdzenie dla z = bi, b≠0: |bi| + (bi)² = 0 ⇔ |b| − b² = 0 ⇔ |b|(1 − |b|) = 0 ⇔ |b| = 1 ⇔ ⇔ b=1 ∨ b=−1, czyli z = i lub z = −i. Sprawdzenie dla z = a ≠ 0: |a| + a² = 0 − nie ma takich a, gdyż lewa strona jest dodatnia.