Całka Omikron: Oblicz całkę nieoznaczoną. Nie mam na nią pomysłu, ktoś pomoże?

	dx
∫
	1+√x

Adamm: t=1+√x x=t²−2t+1 dx=(2t−2)dt

'Leszek: Podstawienie √x = t x = t² dx = 2t*dt

	dx		2t*dt		t+1		1
∫		= ∫		= 2*[ ∫		dt − ∫		dt]=
	1+√x		1+ t		1+t		1+t

	1
= 2*[ ∫ dt − ∫		dt ] = 2*[t − ln(1+t)] = 2√x − 2*ln(1+√x) + C
	1+t

Omikron: Dziękuję. Jeszcze mam szybkie pytanie: czy w podstawianiu tego typu w całkach powinny być założenia dla t czy ich brak nie jest błędem?

'Leszek: Dziedzine funkcji podcalkowej nalezy podawac i dobrze jest obliczajac pochodna funkcji pierwitnej czyli wyniku calkowania przekonac sie ,ze jest poprawnie

Mariusz:

	1	2√x		2		2
∫			dx=∫		(1−		)dx
	2√x	1+√x		2√x		1+√x

	1		1	1
=2∫		dx−2∫			dx
	2√x		2√x	1+√x

Teraz można w pamięci korzystając z wzoru na pochodną złożenia

Omikron: Jeszcze raz dziękuję

Benny: Mała literówka w liczniku w pierwszej linijce Mariusz

Mariusz: Omikron znasz z algebry takie rzeczy jak dzielenie wielomianów z resztą NWD wielomianów schemat Hornera rozkład wielomianu na czynniki nierozkładalne nad R (tu mogą się przydać liczby zespolone) Przyda się także rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań powstały podczas rozkładu na sumę ułamków prostych czy przy wydzielaniu części wymiernej całki jest zawsze układem Cramera więc tw Kroneckera Capellego jest opcjonalne ale gdybyś znał inne metody rozwiązywania układów równań liniowych niż te z podstawówki byłoby ci łatwiej podstawianie (było w podstawówce) eliminacja Gaussa (w podstawówce było coś co się nazywało przeciwnymi współczynnikami) wzory wyznacznikowe Cramera mnożenie lewostronne przez macierz odwrotną rozkład macierzy (np LU) Dwie ostatnie metody są o tyle dobre że mając macierz odwrotną czy rozkład LU łatwo dostaniesz rozwiązanie dla różnych kolumn wyrazów wolnych Jeśli to znasz to moglibyśmy poćwiczyć liczenie całek z funkcji wymiernych

Omikron: Dwóch ostatnich z macierzami nie znam, chyba będę miał macierze później w tym semestrze, więc zapewne te metody się pojawią.

Mariusz: Na całkowanie funkcji wymiernych jest taki schemacik

	L(x)
∫		dx
	M(x)

1. deg L(x)≥deg M(x) Niech L(x)=W(x)M(x)+R(x)

	L(x)		R(x)
∫		dx=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)		M(x)

2. deg R(x)<deg M(x) ∧ gcd (M(x),M'(x))≠const

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₁(x)=GCD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) deg R₁(x)<deg M₁(x) deg R₂(x)<deg M₂(x) Aby znaleźć liczniki stosujesz metodę współczynników nieoznaczonych 3. deg R₂(x)<deg M₂(x) ∧ gcd (M₂(x),M₂'(x))=const Niech M₂(x)=(x−a₁)(x−a₂)*...*(x−a_k) (x²+p₁x+q₁)(x²+p₂x+q₂)*...*(x²+p_mx+q_m)

	R2(x)		A1		A2		Ak
∫		dx=∫		dx+∫		+...+∫
	M2(x)		x−a1		x−a2		x−ak

	B1x+C1		B2x+C2
+∫		dx+∫		dx
	x2+p1x+q1		x2+p2x+q2

	Bmx+Cm
+...+∫		dx
	x2+pmx+qm

	Bx+C
Aby obliczyć całkę ∫		dx wygodnie jest sprowadzić trójmian kwadratowy
	x2+px+q

do postaci kanonicznej

Omikron: Czym jest deg, a czym gcd?

Adamm: deg − stopień wielomiany gcd − NWD

Adamm: wielomianu

Omikron: Ok, dzięki. Mariusz, mam w swoim zbiorze zadania na całkowanie funkcji wymiernych, więc na pewno mi się przyda ten post

Mariusz: NWD wielomianów możesz liczyć na dwa sposoby : wykorzystując rozkład tych wielomianów na czynniki biorąc reszty z kolejnych dzieleń (dzielisz wielomian większego stopnia przez wielomian niższego stopnia) Dzielisz dopóki reszta ci się nie wyzeruje

Mariusz: Gdybyś chciał korzystać tylko z rozkładu na sumę ułamków prostych to przydałoby się

	1
wyprowadzić jeszcze wzór redukcyjny na ∫		dx
	(1+x2)n

Mieliście wyprowadzane jakieś wzory redukcyjne ?

Omikron: Nie

Mariusz: całkowanie przez części ? Masz wzór na pochodną iloczynu , scałkuj go sobie

	1
Co do całki ∫		dx
	(1+x2)n

to zapisz sobie licznik w ten sposób abyś mógł po rozbiciu na sumę całek w jednej całce skrócić licznik z mianownikiem drugą zaś wygodnie policzyć przez części tj licznik zapisujesz w postaci 1=(1+x²)−x²

	−x2
Całkę ∫		dx
	(1+x2)n

liczysz dobierając części w ten sposób

	x
u=x dv=−		dx
	(1+x2)n

Omikron: A nie, to wzór na całkowanie przez części miałem wyprowadzany, myślałem, że wzory redukcyjne to coś innego

Mariusz: We wzorach redukcyjnych chodzi o to aby wyrazić całkę za pomocą tej samej całki ale dla mniejszego argumentu podobnie jak we wzorach rekurencyjnych Zwykle wzory redukcyjne wyprowadza się całkując przez części dlatego zapytałem czy całkowanie przez części miałeś

Mariusz: Całkowanie funkcji wymiernych się przydaje bo wiele podstawień sprowadza całki do całek z funkcji wymiernej np Całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx gdzie R(x,y) funkcja wymierna dwóch zmiennych mogą być sprowadzone do całek z funkcji wymiernych podstawieniami Dla a>0 √ax²+bx+c=t−√ax Dla a<0 Tutaj możemy założyć że b²−4ac>0 inaczej trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem byłby stale ujemny Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej i stosujemy podstawienie √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t Przykład który tu podałeś jest szczególnym przypadkiem całek postaci ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx gdzie m,n,p∊ℚ i też podstawieniami sprowadza się je do całek z funkcji wymiernej Dla całek postaci ∫R(sin(x),cos(x))dx możesz wymyślić podstawienie cos(x)=(1+sin(x))t

Omikron: Funkcji dwóch zmiennych też jeszcze nie miałem. Na razie jeszcze przećwiczę trochę podstawowych całek, a później pochylę się nad wymiernymi.

Adamm: niby to jest funkcja dwóch zmiennych, ale potraktuj to prościej, to jest najzwyczajniej złożenie funkcji

	sinx		sin2x+cos50x+100
czyli sinx+cosx,		,		, jako przykłady
	cosx		sinx+cosx

to nie jest nic trudnego, bardzo naturalne

Adamm: ale np. sinx^cosx już nie byłaby taką, bo mówiąc funkcja wymierna mamy na myśli funkcja z dodawaniem, i mnożeniem (odejmowaniem, dzieleniem, jeśli dla ciebie to nie jest to samo)

Adamm: inaczej mówiąc: funkcja którą można skonstruować przez te operacje mając jedynie, sinx, cosx

Adamm: mówię oczywiście o R(sinx, cosx) gdzie R jest wymierną

Mariusz: Proponowałbym najpierw przejść do wymiernych bo wymagają głównie liniowości całki (wyciąganie stałej przed znak całki ,całka sumy to suma całek) (podstawienia stosujesz najwyżej dwa

	p		p2
t=x2+px+q oraz (x+		)2=(q−		)t2
	2		4

Całkowanie przez części przydatne jest tylko wtedy gdy będziesz chciał sobie wzór redukcyjny wyprowadzić Możesz jednak tego uniknąć wydzielając część wymierną całki Wydzielenie części wymiernej całki ma tę zaletę że opóźniasz rozkład mianownika na czynniki Nawet jeśli nie uda ci się uniknąć rozkładu mianownika na czynniki to będzie on łatwiejszy bo mianownik będzie miał tylko pierwiastki pojedyncze Tak jak wspomniałem wiele podstawień prowadzi do całek z funkcji wymiernych a że wymagają one więcej wiadomości z algebry niż z analizy więc warto się nimi najpierw zająć

Omikron: Przepraszam, że odpowiadam po takim czasie, ale dopiero teraz mam chwilę, żeby zająć się całkami wymiernymi. Mam cztery przykłady w zbiorze, spróbuję je zrobić.

	x2		x2+1−1		x2+1		1
a) ∫		dx=∫		dx=∫		dx−∫		dx=x−arctgx+c
	x2+1		x2+1		x2+1		x2+1

	1
b) ∫		dx
	(x−1)(x−2)

1		A		B
	dx=		+		/*(x−1)(x−2)
(x−1)(x−2)		x−1		x−2

1=(A+B)x−2A−B A+B=0 i −2A−B=1 A=−1 i B=1 Czyli

	1		1		1
∫		dx=∫		dx−∫		dx=ln|x−2|−ln|x−1|+c
	(x−1)(x−2)		x−2		x−1

	dx
c) ∫		dx
	x2−5x+4

Δ_mianownika=3² x₁=1 x₂=4

	1		1
I znowu rozdzielam na dwa ułamki. Wyszło mi A=−		i B=
	3		3

Czyli

	dx		1		1		1		1		1		1
∫		dx=		∫		dx−		∫		dx=		ln|x−4|−		ln|x−1|+c
	x2−5x+4		3		x−4		3		x−1		3		3

	dx
d) ∫
	x2+x+1

W tym przykładzie jest chyba trzeci przypadek (z tych, które podałeś). Mógłbyś pokazać na tym przykładzie jak go zastosować?

Adamm: podstawienie pod arcusa tangesa

Adamm:

	1		3
x2+x+1=(x+		)2+
	2		4

	1
podstaw √3/4t=x+
	2

Mariusz: W tym przykładzie sprowadzasz trójmian do postaci kanonicznej i stosujesz podstawienie podane przez poprzednika

Omikron:

3		1
	t2=(x+		)2
4		2

	3
dx=√		dt
	4

Czyli

	dx		√3/4dt		√3		4
∫		=∫		=		*		arctgt=
	(x+1/2)2+3/4		3/4(t2+1)		2		3

	2√3		2x+1
=		arctg		+c
	3		√3

Wyszło poprawnie, dziękuję

Omikron: Jak mam pierwiastek to rozdzielenie na dwa ułamki będzie problematyczne, bo trzeba będzie dwa razy do kwadratu podnieść. Znowu nie mam pomysłu, próbowałem za mianownik podstawić t, ale nie wychodzi mi.

	1
∫		dx
	√a2−x2

Mariusz: Tutaj będzie arcus sinus ale jak chcesz sprowadzić do całki z funkcji wymiernej to zastanów się współczynnik przy x² jest ujemny więc podstawienia √ax²+bx+c=t−√ax nie możesz użyć Zapisujesz więc trójmian a²−x² w postaci iloczynowej (a−x)(a+x) i podstawiasz √(a−x)(a+x)=(a−x)t

Omikron: Dziękuję, pomyślę nad tym wieczorem

Omikron: Nie mam pojęcia jak przy pomocy tego podstawienia to rozwiązać. Ech, coś mi nie idą te całki...

Mariusz:

	1
∫		dx
	√a2−x2

√(a−x)(a+x)=(a−x)t (a−x)(a+x)=(a−x)²t² a+x=(a−x)t² a+x=at²−xt² at²−a=x+xt² x(1+t²)=a(t²−1)

	t2−1		2a
x=a		=a−
	t2+1		t2+1

	2at
(a−x)t=
	t2+1

dx=(−2a)*(−1)*(t²+1)⁻²*(2t)dt

	4at
dx=		dt
	(t2+1)2

	t2+1		4at
∫		*		dt
	2at		(t2+1)2

	dt
2∫		=2arctan(t)+C
	t2+1

	√a2−x2
=2arctan(		)+C
	a−x

Omikron: Ponownie dziękuję

Mariusz: Jak masz całkę z pierwiastkiem z trójmianu kwadratowego to patrzysz czy współczynnik przy x² jest dodatni Jeśli współczynnik przy x² jest dodatni to stosujesz podstawienie √ax²+bx+c=t−√ax (podstawiasz w sposób analogiczny do tego jak pokazałem) Jeśli współczynnik przy x² jest ujemny to zakładasz że wyróżnik trójmianu kwadratowego pod pierwiastkiem jest dodatni bo inaczej trójmian kwadratowy przyjmowałby tylko wartości ujemne Zapisujesz trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w postaci iloczynowej i stosujesz podstawienie √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t

Omikron: Postaram się to zapamiętać

Mariusz: Powyższy pomysł możemy zastosować do całek z funkcji trygonometrycznych Tutaj będzie interesował nas przypadek a<0 gdzie możemy trójmian kwadratowy rozłożyć na czynniki Z tego podstawienia możemy otrzymać także podstawienie jak cos(x)=(1−sin(x))t

Mariusz: Mamy całki z funkcji trygonometrycznych i chcemy wykorzystać podstawienie znane z całek z funkcji z pierwiastkiem z trójmianu kwadratowego Mamy zatem cos(x)=(1−sin(x))t cos²(x)=(1−sin(x))²t² 1−sin²(x)=(1−sin(x))²t² (1−sin(x))(1+sin(x))=(1−sin(x))²t² 1+sin(x)=(1−sin(x))t² 1+sin(x)=t²−sin(x)t² sin(x)+sin(x)t²=t²−1 sin(x)(t²+1)=t²−1

	t2−1
sin(x)=
	t2+1

	(1+t2)−(t2−1)		2t
cos(x)=(1−sin(x))t=		t=
	t2+1		t2+1

	2t(t2+1)−(t2−1)2t
cos(x)dx=		dt
	(t2+1)2

	4t
cos(x)dx=		dt
	(t2+1)2

2t		4t
	dx=		dt
t2+1		(t2+1)2

	2
dx=		dt
	t2+1

	t2−1
sin(x)=
	t2+1

	2t
cos(x)=
	t2+1

	2
dx=		dt
	t2+1

Mając podstawienia dla całek z pierwiastka z trójmianu kwadratowego możesz łatwo wymyślić podstawienia dla całek z funkcji trygonometrycznych

Mariusz: Omikron jak ci wychodzi całkowanie funkcji wymiernych ? Jak je przećwiczysz to przejdź do całek z pierwiastkiem z trójmianu kwadratowego √ax²+bx+c=t−√ax a>0 √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t a<0 , zakładasz wtedy że b²−4ac>0 Przydadzą ci się później do całkowania funkcji trygonometrycznych Funkcję trygonometryczną wyrażasz za pomocą funkcji sec(x) , tan(x) albo cos(x),sin(x) Wobec tego że cos²(x)=1−sin²(x) oraz sec²(x)=1+tan²(x) możesz skorzystać z podstawienia sec(x)=t−tan(x) jeśli wyrazisz funkcję za pomocą funkcyj sec(x) oraz tan(x) albo cos(x)=(1−sin(x))t jeśli wyrazisz funkcję za pomocą funkcyj cos(x) oraz sin(x)

Omikron: Tak mi średnio idzie, bo mam dużo innych zajęć na które muszę się przygotowywać (głównie niemiecki). Tydzień kolokwiów mi się szykuje. Co do całek wymiernych to jeżeli będę miał czas to to jeszcze poćwiczę, ale na wykładzie i ćwiczeniach miałem tylko podstawowe ich wersje, które już potrafię rozwiązywać. Zapewne wrócę jeszcze do tych całek w przyszłości, bo chciałbym rozpocząć też studia matematyczne (teraz na ekonomicznych jestem).

Mariusz: Meine Eltern sind die Rentner Mein Bruder ist Lehrer Ich wohne in Polen Ja tylko na takim etapie Mnie by się bardziej przydał rosyjski bo mam trochę książek po rosyjsku głównie do analizy i algebry

Omikron: Ja muszę w dwa lata przeskoczyć z poziomu A2 do B2, piszę egzamin wtedy na tym poziomie. Pewnie to i dobrze, teraz narzekam na to ile jest pracy z niemieckiego, a na końcu coś będę umiał.

Mariusz: Jak ci szła informatyka w liceum ? Pewnie piszesz jakieś programy na własne potrzeby

Omikron: Informatyka szła mi raczej dobrze poza programowaniem W planie studiów mam raczej tworzenie baz danych, nie programowanie, ale to mnie też nie ominie w przyszłości, bo jest na studiach matematycznych.

Mariusz: To dwa lata ci na ekonomicznych zostało ? A nie dałoby się jednocześnie studiować ekonomii i matematyki Kiedyś z matematyką i fizyką była taka możliwość

Omikron: Na pierwszym roku jestem, więc 2,5. Da się i tak zamierzam. Chciałbym albo w przyszłym roku albo za dwa lata zacząć.

Mariusz: Co do programowania to wszyscy rzucili się na C chociaż np łańcuch są tam zrealizowane jako tablice znakowe i operacje na nich są gorzej pomyślane niż w Pascalu W Pascalu słówka kluczowe są słówkami języka angielskiego więc kod jest czytelny Pascal ma wskaźniki czyli da się napisać w nim takie struktury danych jak stos, kolejka,lista, drzewo , graf a zatem może być użyty jako język na algorytmy i struktury danych Funkcje do obsługi struktur danych można zgrupować w module (unit) Pascal ma także typ object który pozwalał na przećwiczenie podstaw programowania obiektowego Programowanie obiektowe jest rozwijane w dialekcie Free Pascal

Omikron: W liceum miałem C++, a jak będzie na studiach nie wiem.