Reguła Hospitala Karolina: potrzebuje pomocy przy przykładzie : lim przy x→0+ lnsin2x/lnsinx Prosiłabym o dokładnie rozpisanie przykładu

Karolina: oraz przykład lim x→2 lnx−ln2/x−2

Jack:

	1		2cos(2x)		cos(2x)
[ln(sin(2x))] ' =		*cos(2x)*2 =		=
	sin(2x)		sin(2x)		sin(x)cos(x)

	1		cos(x)
[ln(sin(x))] ' =		* cos(x) =
	sin(x)		sin(x)

	[ln(sin(2x))]		cos(2x)   sin(x)cos(x)
lim		= lim		=
	[ln(sin(x))]		cos(x)   sin(x)

x−>0+

	cos(2x)*sin(x)		cos2(2x)		cos2(0)		1
=lim		= lim		=		=		=1
	sin(x)cos2(x)		cos(x)		cos(0)		1

Jack: drugi nie czytelny, jak wyglada ten ulamek?

Karolina: lnx − ln2 / x−2

Jack: ln2/x−2 =?

	2		2		2
ln		czy ln(		−2) czy ln(		)−2
	x−2		x		x

Karolina: lnx − ln2 −−−−−−−−−−− x−2

Jack: w czym problem?

	1
[ln(x)] ' =
	x

[ln(2)] ' = 0 [x−2]' = 1

	ln(x) − ln(2)		1   x		1		1
lim		= lim		= lim		=
	x−2		1		x		2

x−>2

Karolina: dziekuję bardzo

Jack:

Karolina: mam jeszcze jeden przykład z pochodnych : f(x)= ln(sin²x+√1+sin⁴x odpowiedz wynosi sin2x / √1+sin⁴x moje rozwiązanie : 1/sin²+√1+sin⁴x * (sin²x+ √a+sin⁴x = 1−sin² + √1+sin⁴x * (2sinxcosx + 4sinx³cosx / 2√1+sin⁴x pytanie brzmi gdzie jest błąd albo jak dość do odpowiedzi wyżej podanej?

Kacper: Na początek: (sin²x)'=sin2x

	1
(√1+sin4x)'=		*4sin3xcosx
	2*√1+sin4x

	1
(lnx)'=
	x

I składamy wszystko

	1		1
[ln(sin2x+√1+sin4x)]'=		*[sin2x+		*4sin3xcosx]=
	sin2x+√1+sin4x		2*√1+sin4x

2sin3xcosx   sin2x+   √1+sin4x
sin2x+√1+sin4x

I teraz "wystarczy" uprościć

Karolina: jak upraszczam to wychodzi 2 sin2x / √1+sin⁴x a ma wyjść samo sin2x / √1+sin⁴x