Parametr, nierówność, wzory Vieta Nataliaa: Dane jest równanie: x²+mx+m+3=0. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których to równanie ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ takie, że Ix₁−x₂I<√33. ZAŁOŻENIA: Δ>0 Ix₁−x₂I<√33 Pierwsze założenie wyszło mi m ∊ (−∞;−2) U (6;∞) Problem mam z drugim założeniem: Ix₁−x₂I<√33 1) x₁−x₂<√33 2) x₁−x₂>−√33 I później do kwadratu i będziemy korzystać ze wzorów Vieta. Zgadza się? Gdy chciałam obliczyć to: x₁−x₂>−√33 i pomnożyłam stronami razy (−1) to wyszedł mi inny wynik niż gdyby od razu robiłam kwadrat. Może mi ktoś wytłumaczyć, jak powinno być poprawnie rozwiązane to zad.?

Puma: |x₁−x₂|= √(x₁−x₂)²

Nataliaa: I wzory Vieta robić pod pierwiastkiem cały czas? Dziękuję A co z moimi założeniami, niepoprawne?

Smule: |x₁ − x₂| < √33 x₁² − 2x₁x₂ + x₂² < 33 Poradzisz sobie dalej z wzorami viete'a? Założenia ok

Smule: nie ma co bawic sie z rozbijaniem wartosci bezwzglednej, wszystko do kwadratu i z glowy

Smule: PS podobne zadanie, tylko z innymi liczbami bylo w tym roku na maturze. Przejrzyj sobie https://matematykaszkolna.pl/strona/4656.html

zombi: Oczywiście istnieje jeszcze metoda "na pałę"

	−b±√Δ
x1,2 =		, wobec tego
	2a

	−b+√Δ		−b−√Δ		√Δ
|x1−x2| = |		−		| = |		|
	2a		2a		a

Nataliaa: Dziękuję wam za odpowiedzi i za link, zrozumiałam Rzeczywiście prostszy sposób. Ale nawet teoretycznie przyjmując to moje rozbijanie wartości bezwzględnej to czemu: 1) (x₁−x₂)<√33 TO JEST OK 2) ALE TO MOGĘ ROZWIĄZAĆ NA 3 SPOSOBY (nawet więcej) I W A i B WYCHODZI TO SAMO, NATOMIAST W "C" po lewej stronie wyjdzie to samo, ale jest inny znak: .....a) (x₁−x₂)>−√33 /² (x₁−x₂)²>33 ....b) −(x₁−x₂)<√33 /*(−1) (x₁−x₂)>−√33 /² (x₁−x₂)²> 33 ....c) −(x₁−x₂)<√33 x₂−x₁<√33 /² (x₂−x₁)²<33

Mila: x²+mx+m+3=0 1) dwa różne rozwiązania ⇔ Δ>0⇔ Δ=m²−4*(m+3)=m²−4m−12 m²−4m−12>0 Δ_m=16+4*12=48+16=64

	4−8		4+8
m1=		lub m2=
	2		2

m₁=−2 lub m=6 m<−2 lub m>6 2)|x₁−x₂|<√33 /² x₁²−2x₁*x₂+x₂²<33⇔ (x₁+x₂)²−2x₁*x₂−2x₁*x₂<33 (x₁+x₂)²−4x₁*x₂<33⇔ (−m)²−4*(m+3)<33 i [m∊(−∞,−2)∪(6,∞) ] m²−4m−12−33<0 m²−4m−45<0⇔m∊(−5,9) i [m∊(−∞,−2)∪(6,∞) ]⇔ m∊(−5,−2)∪(6,9) ==========

Mila: 1) |x₁−x₂|<√33 obie strony nierówności są nieujemne , podnosząc do obustronnie do kwadratu otrzymasz nierówność równoważną. 2) jeżeli masz nierówność x₁−x₂<√33 to nie wiesz, jaki znak ma lewa strona, podnosząc do kwadratu możesz nie otrzymać nierówności równoważnej np. 1−8<√33 natomiast (1−8)²>33

Nataliaa: Ok, Dziękuję Mila I wszystkim. którzy odpowiedzieli, z wami wszystko staje się jaśniejsze

PW: Spróbujmy moją ulubioną metodą "uzupełniania do kwadratu": x²+mx+m+3=0

	m2		m2
x2 + mx +		−		+ m + 3 = 0
	4		4

	m		1
(x+		)2 −		(m2 − 4m − 12) = 0
	2		4

	m		1
(x+		)2 =		(m2 − 4m − 12)
	2		4

	m		1
(1) (x+		)2 =		(m−6)(m + 2)
	2		4

Trójmian po prawej stronie jest dodatni dla m < − 2 lub m > 6, dla takich m istnieją 2 rozwiązania równania (1) określone wzorami

	m		m
x1 +		= − √d, x2 +		= √d,
	2		2

gdzie d oznacza prawą stronę (1).

	m		m
x1 = −		− √d, x2 = −		+ √d,
	2		2

więc x₂ − x₁ = 2√d > 0. Mamy zatem znaleźć takie m, dla których 2√d < √33, m∊(−∞,−2)∪(6,∞) 4d < 33

	1
4.		(m − 6)(m+2) < 33
	4

(m − 6)(m+2) < 33, m∊(−∞,−2)∪(6,∞) Dalej już standardowo.

Nataliaa: No, noo, Ta odpowiedź jest już bardziej skomplikowana... trochę trzeba to przemyśleć