Jak udowodnić zbieżność szeregu harmonicznego H.E.V:

	1
Witam, jak można udowodnić, że ∑		przy n=1→∞ jest zbieżny dla x>1 ?
	nx

jc: 1 + 1/2^x + 1/3^x + 1/4^x + 1/5^x + 1/6^x + 1/7^x + 1/8^x + 1/9^x + ... + 1/15^x ≤ 1 + 1/2^x + 1/2^x + 1/4^x + 1/4^x + 1/4^x + 1/4^x + 1/8^x + ... + 1/8^x = 1 + 2/2^x + 4/4^x + 8/8^x= 1 + 1/2^x−1 + (1/2^x−1)² + (1/2^x−1)³ ≤ 1 + 1/2^x−1 + (1/2^x−1)² + (1/2^x−1)³ + .... = 1/(1 − 1/2^x−1) Dla x > 1 sumy częściowe naszego naszego szeregu rosną i są ograniczone przez sumę zbieżnego szeregu geometrycznego.

H.E.V: Dziękuję za pomoc

zombi: Z kryt. o zagęszczeniu Cauchy'ego

	1
Niech an =		, mamy zatem
	nx

	1		1
bn := 2na2n = 2n *		= (		)n.
	2nx		21−x

Wobec tego pytanie rozchodzi się o zbieżność szeregu geom. Podobnie, choć nieco inaczej

jc: Tak samo. To rachunek z twierdzenia o zagęszczaniu (a może rozrzedzaniu?).

jc: Rachunek z dowodu twierdzenia ...

H.E.V: A dla czego z tego równania 1/(1 − 1/2^x−1) sumy miała by wynikać zbieżność tylko dla x>1? Dla x = np. 1/2 również suma przyjmuje skończoną wartość.

Adamm: czy ciąg 1+√2+2+2√2+... jest zbieżny do jakiejś liczby

zombi: To jest suma szeregu geometrycznego, a szereg geometryczny jest zbieżny kiedy? To, o czym mówisz to dość śliski temat, ano dlatego, że pojawia się tu nieskończone sumowanie. Wstawiasz coś za x, po zsumowaniu szeregu, a pytanie jakie należy sobie zadać, to czy da się zsumować ten szereg? To wyrażenie ma takową postać pod warunkiem, że szereg jest zbieżny, tzn. daje się sumować.

H.E.V: Hmmm... czyli chodzi o to, że szereg ten zbiega tylko wtedy gdy x>1, i tylko to rozpatrujemy w tym przypadku, i nie możena podstawić za x wartości mniejszej od 1, gdyż nie spełnia on wtedy warunku na zbieżność, co można udowodnić w podobny sposób i co zabrania nam na użycie w tym konkretnym przypadku wartości x<1?

zombi: Dokładnie, można nawet prościej podpierając się faktem, że dla x =1 mamy szereg harmoniczny

	1		1		1
∑		, który jest rozbieżny. A dla x<1 zachodzi przecież		≥		, czyli
	n		nx		n

	1		1
∑		≥ ∑		→ +∞
	nx		n

zombi: A wstawianie czegoś w miejsce x, w podanym wzorze jest możliwe jedynie wtedy, kiedy ten wzór jest prawdziwy.

H.E.V: Bardzo dziękuję za pomoc i objaśnienia

jc: Szereg geometryczny ∑ (1/2^x−1)ⁿ jest zbieżny dla x > 1. Dla x ≤ 1 jest rozbieżny. A wzór na sumę umieściłem, bo pozwala jakoś oszacować rozpatrywany szereg.