Liniowa niezależność wektorów Kamil: Udowodnić, że wektory c−2b, a−b, b−a są liniowo zależne, wiedząc że wektory a b c są liniowo niezależne. Potrafie sprawdzić zależność liniowa wektorów gdy są podane współrzędne, ale nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem. Pomoże ktoś ?

jc: a−b = − (b−a), czyli wektory a−b, b−a są liniowo zależne.

Kamil: Czy jest na to jakis sposób ,schemat działania, czy po prostu w zadaniach tego typu trzeba "zgadnąć" zaleznosc ?

PW: „Schemat działania" to definicja.

Saizou : Każdy wektor z danej przestrzeni jest liniową kombinacją wektorów, które rozpinają tą przestrzeń. Wiemy, że a,b,c są liniowo niezależne, więc każdy wektor może być wyrażony przez liniową kombinację, czyli jest w postaci Xa + Yb + Zc, gdzie nie wszystkie X,Y,Z są równe zero Od razu widać że wektory c−2b, a−b, b−a są liniowymi kombinacjami

jc: Pewien poważniejszy przykład. u=a+b+c v =a+2b+3c w=a+4b+9c Załóżmy, że a, b, c są liniowo niezależne. Czy wektory u,v,w są liniowo niezależne? Piszesz równanie: xu + yv + zw=0. czyli x(a+b+c) + y(a+2b+3c) + z(a+4b+9c)=0 inaczej (x+y+z)a + (x+2y+4z)b + (x+3y+9z)c=0 a ponieważ wektory a,b,c są liniowo niezależne, więc zachodzą równości x+y+z = 0 x+2y+4z=0 x+3y+9z=0 Teraz sprawdzasz, czy powyższy układ równań ma niezerowe rozwiązanie. Jeśli tak, to u,v,w są liniowo zależne, w przeciwnym wypadku są liniowo niezależne.

Kamil: Bardzo dziękuje za odpowiedzi