Sprawdzić, że liczba zespolona jest jednym z pierwiastków wielomianu John: Sprawdzić, że liczba zespolona 𝑥1=1+𝑖 jest jednym z pierwiastków wielomianu 𝑃(𝑥)=𝑥⁴−𝑥³−3𝑥²+8𝑥−6. Znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu Podstawiłem 1+i pod x w P(x) i wyszło 0 więc mam pierwszy pierwiastek.Schematem Hornera zszedłem do postaci x³ +ix² +(i−4)x−3i+3.Korzystając z tego że drugi pierwiastek jest sprzężeniem czyli 1−i(gdzieś tak wyczytałem), użyłem jeszcze raz schematu Hornera żeby zejść do postaci x²+bx+c i polecieć z deltą lecz wyszła mi jakaś reszta (na końcu tabelki w schemacie Hornera)więc coś mam źle?

Jack: Dwa twierdzenia : 1) "Jeżeli liczba zespolona "z" jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych, to sprzężenie "z" również jest pierwiastkiem tego wielomianu" 2)"Wielomian stopnia nieparzystego o współczynnikach rzeczywistych ma co najmniej 1 pierwiastek rzeczywisty". (Z drugiego twierdzenia poki co nie skorzystamy). Wiemy ze P(x) = x⁴ − x³ − 3x² + 8x − 6 Po podzieleniu przez 1 + i mam x³ + ix² + (i−4)x + 3−3i P(x) = (1+i)(x³ + ix² + (i−4)x + 3 − 3i) teraz po podzieleniu (x³ + ix² + (i−4)x + 3 − 3i) przez (1−i) P(x) = (1+i)(1−i)(x² + x − 3) a dalej to juz wiesz jak. PS mi zadna reszta nie wyszla...

PW: Trzeba było od razu podzielić P(z) przez (z − (1+i)(z − (1−i)) = ((z−1) + i)((z −1) − i) = (z−1)² − i² = z² − 2z +1

PW: Pomyliłem się w rachunkach. Korekta: w ostatnim wierszu powinno być z² − 2z + 2 Zamiast dzielenia można zgadnąć wynik (dlaczego −3 jest oczywiste, a więc szukamy tylko p): z⁴−z³−3z²+8z−6 = (z² − 2z + 2)(z² + pz − 3) = = z⁴ +pz³ − 3z² − 2z³ − 2pz² +6z + 2z² + 2pz − 6 = = z⁴ +(p−2)z³ +(−1−2p)z² + (6+2p)z − 6 Porównanie współczynników przy odpowiednich potęgach zmiennej z daje: −1 = p − 2 −3 = −1 − 2p 8 = 6 + 2p Każde z równań daje p = 1, i tak musiało być − przecież dzielenie musi się dać wykonać (musi istnieć zakładana liczba p − wystarczyło sprawdzić równość jednego ze współczynników po lewej i po prawej stronie). Niektórzy robią to w pamięci dla z³ i mówią: Jak łatwo zauważyć z⁴−z³−3z²+8z−6 = (z² − 2z + 2)(z² + z − 3)